РАСЧЕТ И ВИЗУАЛИЗАЦИЯ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТОВ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ

Современные компьютерные технологии, в основе которых лежат прикладные пакеты, предоставляют возможность более глубокого изучения ряда разделов физики.

Основными функциями применения компьютеров в физических исследованиях являются управление экспериментом и моделирование.

Не вызывает сомнения целесообразность знакомства обучающихся на младших курсах вузов с некоторыми методами создания и исследования моделей физических явлений средствами современных пакетов прикладных программ с одновременным изучением языков программирования, если таковые используются.

В общем случае модель является представлением объекта, системы или понятия в некоторой форме, отличной от оригинала (натуры). Модель объекта может быть, как точной копией этого объекта, так и отображать некоторые характерные свойства объекта в абстрактной форме [1], она служит обычно средством, помогающим в объяснении, понимании или совершенствовании системы. Можно указать следующие функции моделей в качестве средства осмысления действительности, общения и обучения, инструмента прогнозирования и постановки эксперимента.

Современные пакеты специализированных прикладных программ позволяют решать стандартные задачи электромагнетизма (Maxwell, Eclut, MagNet); электромагнетизма и теплопроводности (Jmag Designer, Femm); электромагнетизма, теплопроводности, гидродинамики и др. (Ansys, Comsol [2]). Данные программные пакеты позволяют помимо расчета произвести визуализацию полученных результатов. В основе численных расчетов лежит метод конечных элементов, заключающийся в разбиении области решения на «сетку». Решения ищутся в каждом элементе сетки таким образом, чтобы их значения на границах соседних элементов совпадали. Для увеличения точности решения необходимо большее число элементов сетки, что вызывает рост вычислительной сложности задачи. Таким образом, вышеперечисленные программные пакеты позволяют быстро решать узкоспециализированные задачи в прикладных целях.

Помимо подобных программных пакетов существуют системы компьютерной математики, позволяющие решать и нестандартные задачи пользователей. В числе таких систем Mathematica, MAPLE, MathCAD, MATLAB. Однако их применение невозможно без знания алгоритмов и методов их реализации.

В последние годы в научных и инженерных кругах получила широкое распространение система MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory), принятая в качестве официального средства оформления инженерной и научной документации [3].

Система MATLAB является интерактивной системой, занимающей лидирующее место в области численных научно-технических вычислений, расчетов и моделирования [4]. Областями применения данного пакета являются вычислительная математика, разработка алгоритмов, вычислительный эксперимент, имитационное моделирование, анализ данных, исследование и визуализация результатов, научная и инженерная графика, разработка приложений, включая графический интерфейс пользователя и т.д. Система использует математический сопроцессор и допускает обращение к программам, написанным на языках Fortran, C и C++, при этом сама является одновременно операционной средой и языком программирования.

Авторами поставлена и решена задача расчета электрического поля системы N неподвижных зарядов q_i, поскольку аналитический расчет полей, не обладающих симметрией, трудоемок.

Основой электростатики являются инвариантность электрического заряда к выбору системы отсчета, закон сохранения заряда, закон Кулона, принцип суперпозиции полей и теорема Остроградского-Гаусса [5].

Известно, электрическое поле, созданное неподвижным точечным электрическим зарядом q в вакууме в данной точке пространства, характеризуется скалярной величиной, потенциалом:

                                                   (1)

где  - радиус-вектор точки наблюдения,  - радиус-вектор (координата) электрического заряда q, e₀ – электрическая постоянная.

Векторной характеристикой данного поля является напряженность

                                  (2)

_Если электростатическая система состоит из N электрических зарядов q₁, q₂ ... q_N, то по принципу суперпозиции потенциал и напряженность электрического поля удовлетворяют следующим соотношениям:

                                          (3)

                                   (4)

где - координата i-гo заряда q_i.

При анализе электростатических полей системы произвольно расположенных зарядов, характеризующихся потенциалом  возникает задача наглядного его представления [6]. Один из возможных способов представления потенциала электростатического поля  реализуется следующим алгоритмом:

- задание функции, которая возвращает значения потенциала, вычисляемые в соответствии (3) в узлах заданной координатной сетки.

- задание дискретной координатной сетки с правильно подобранным малым шагом дискретизации.

- вычисление значения потенциала в каждом узле координатной сетки;

- графическое изображение поверхности.

Следуя этому алгоритму, создается файл в соответствии с синтаксисом и грамматикой внутреннего языка, описывающий функцию , которая возвращает матрицу, содержащую значения потенциала в соответствующих узлах координатной сетки (рис.1).

Рисунок 1. Поверхность потенциала

Напряженность, в отличие от потенциала, является векторной функцией, поэтому для описания векторного поля нужно использовать силовые линии, т.е. линии, касательные к которым в каждой точке параллельны вектору напряженности электростатического поля.

В качестве тестового примера по алгоритму, приведенному выше, в системе MATLAB 7.8 (R2008a) рассчитан потенциал, создаваемый системой, состоящей из N=50 одинаковых электрических зарядов  Кл, расположенных равномерно на отрезке прямой OX , м, шаг сетки  м.

MATLAB, не претендуя на исключительное право, является наиболее популярным средством решения научно-технических задач, в основе которого лежат векторные вычисления. Использование векторов, как базисных конструкций программирования, не только повышает скорость работы программ, но и сокращает время их разработки. Структура данных и оптимизированные вычислительные алгоритмы позволяют оперировать сложными формулами, не приводя данные к каким-либо типам данных, что дает возможность исследователю не отвлекаться от физической сути эксперимента, переложив работу по расчету и наглядной визуализации на данный программный комплекс.

Список литературы

1. Самарский А.А. Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. – 2-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2001. - 320 c.
2. Козенков О.Д., Косырева Л.Г., Хухрянская Е.С. Граничные условия при моделировании течения вязкой жидкости // Актуальные вопросы современной информатики: Материалы VIII Всероссийской научно-практической конференции.- Коломна: Изд-во гос. соц.-гум. ун-т, 2018. C. 55–57.
3. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB. Учебный курс. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BVH, 2005. - 512 c.
4. Дьяконов В. П. MATLAB. Полный самоучитель. – М.: ДМК Пресс, 2012. - 768 с.
5. Cавельев И.В. Курс физики: учебное пособие для вузов: в 3-х томах. Кн. 2: Электричество. Колебания и волны. Волновая оптика. - СПб.: Лань, 2008. - 468 с.
6. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. - М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 592 с.