МОДЕЛИРОВАНИЕ ВРЕМЕНИ ДОСТАВКИ ПАКЕТОВ ДАННЫХ С УЧЕТОМ ОЧЕРЕДЕЙ

Для моделирования времени доставки с учетом очередей рассматривается следующая сеть (рисунок 1):

Рисунок 1. Схема сети

Приняты следующие допущения:

- имеются n - источников заявок;

- каждым источником формируются заявки с интенсивностью λ;

- в коммутаторе имеется буфер на N заявок;

- осуществляется обработка заявок с интенсивностью μ;

- когда очередь достигает уровня N, то вновь сформированные заявки остаются в источниках до тех пор, пока не появятся возможности передачи их в буферы коммутатора;

- при таких условиях, последующие заявки в данном источнике не формируются;

- если в исследуемой системе имеются несколько источников со сформированными заявками, то место, освобождающееся в буфере коммутатора, они занимают с одинаковой вероятностью на конкретной основе.

При таких допущениях для определения закона распределения времени обслуживания заявок от источников формируется вектор, характеризующий состояние системы: (j,i),

где:

- j – количество пакетов в очередях коммутатора;

- j = 0, N; i – количество источников, в которых имеются пакеты, i = 0, n.

На рисунке 2 изображен граф Марковского процесса размножения и гибели с непрерывным временем.

Рисунок 2. Граф состояний системы

Для этого графа составляется система уравнений Колмогорова:

                                                                            (1)

Если рассмотреть стационарные вероятности состояний системы, т.е. когда , т.е. левые части уравнений равны 0, то получится:

                                          (2)

где ; .

Искомый закон распределения времени обслуживания заявки может быть представлен следующим образом:

                                      (3)

где  описывает закон распределения времени обслуживания одной из заявок при условии, что в момент прихода в систему она занимает j-ю очередь в буфере;

 - описывает закон распределения времени обслуживания одной заявки при условии, что в момент поступлении в систему в (i-1) источниках имеются заявки и полон буфер.

Таким образом,  и  являются условными законами. Закон распределения  может быть представлен следующим образом:

                                                 (4)

где - определяет вероятность того, что в момент поступления заявки в системе находилась (j-1) заявок, таким образом, поступившая заявка занимает j-е место в очереди коммутатора;

 - описывает закон распределения времени обслуживания одной заявки, которая расположена на j-м месте в буфере.

Так как обслуживание коммутатора выполняется по закону, носящему экспоненциальный характер, то для  можно записать:

                                                  (5)

т.е. обслуживание будет производиться по закону Эрланга j-го порядка.

Для определения законов распределения  можно поступить следующим образом.

Из n источников выделяется один и для него определяется время обслуживания одной заявки. Для этого вводится вектор: (N, I, k).

- N – сигнализирует о том, что буфер занят(N=N);

- I – показывает количество источников, в которых имеются заявки, кроме выделенного, i=1,(n-1);

- k – показывает наличие или отсутствие заявки в выделенном устройстве, может быть k=0 или k=1.

После рассмотрения части графа, изображенного на рисунке 5, начиная с (N,0) = (N,0,0), может с учетом введения нового вектора состояния быть построен новый граф. Для этого графа можно составить уравнения Колмогорова. Если воспользоваться равенством:

                                              (6)

то получатся уравнения, которые совпадают с соответствующими уравнениями системы (1). Поскольку все источники рассматриваемой системы одинаковы, то для стационарных вероятностей будет справедливо:

Закон распределения  может быть записан в следующем виде:

                                             (7)

где  показывает вероятность того, что в момент поступления от выделенного устройства в системе для (i-1) устройств уже имеются заявки.

- описывает закон распределения времени обслуживания заявки, пришедшей i-й в систему, когда буфер был занят. Для нахождения этого закона строится новый граф, где состояния (N,0,0), (N,1,0) . . . (N,n-1,0)  являются поглощающими или концевыми состояниями.

После составления системы уравнений Колмогорова и решения их относительно соответствующих начальных условий, получается, что закон распределения, для этого случая принимает вид:

                    (8)

Этот закон распределения описывает время ожидания заявки с момента поступления в систему до момента поступления в буфер коммутатора на N-е место.

Таким образом, закон распределения, который определяет время с момента попадания заявки в систему до ее выхода, определяется композицией двух законов:

                            (9)

После определения вероятностей  и , участвующих в выражениях (4) и (9), получается искомый закон распределения:

                   (10)

где P_j-1,0  - вероятность того, что в очереди имеется j-1 заявка, и ни один источник не формирует заявок;

N - размер очереди коммутатора;

P_N,i - вероятность того, что i источников в системе формируют заявки и буфер заполнен;

 - описывает закон распределения, характеризующий время ожидания заявки с момента поступления в систему до момента поступления в буфер коммутатора на N-е место;

f_N (t - t ) - закон Эрланга N-го порядка.

Для проверки и анализа адекватности модели в дальнейшем будет проведена серия экспериментов, в которой будет определяться время доставки пакетов.

Проверка адекватности модели будет проводиться с использованием статистических критериев Стьюдента и Фишера.

Разработанная математическая модель дает возможность исследовать влияние основных параметров коммуникационной сети: размера пакетов, загруженность каналов и размер буфера коммутатора, на время доставки пакетов.

Список литературы:

1. Блам Э. Сеть. Как устроен и как работает Интернет. М.: Издательство "АСТ", 2014. 320 с.
2. Ботуз С. Интеллектуальные интерактивные системы и технологии управления удаленным доступом. Учебное пособие. М.: Издательство "Проспект", 2014. 340 с.