Статья опубликована в рамках: LXIV Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 12 апреля 2018 г.)

Наука: Технические науки

Секция: Моделирование

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Портнягин И.С. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ // Научное сообщество студентов XXI столетия. ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. LXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 4(63). URL: https://sibac.info/archive/technic/4(63).pdf (дата обращения: 20.10.2019)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 8 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

Портнягин Иван Сергеевич

магистрант, кафедра высшей математики, ДВГУПС,

РФ, г. Хабаровск

Научный руководитель Власенко Виктор Дмитриевич

канд. физ.-мат. наук, доцент, вычислительный центр ДВО РАН,

РФ, г. Хабаровск

При движении электропроводной жидкости или плазмы в магнитном поле индуцируется электрическое поле и возникает электрический ток. В свою очередь взаимодействие тока с магнитным полем вызывает изменение движения жидкости и изменение магнитного поля. Магнитная гидродинамика – это раздел механики сплошных сред, изучающий движение электропроводных сред в присутствии магнитного поля. При движении такого рода возникают новые механические эффекты и открываются новые методы воздействия на движение жидкости. Выделяют три группы жидкостей, которые обладают достаточно высокой теплопроводностью: плазма, растворы электролитов, жидкие металлы.

К задачам магнитной гидродинамики можно отнести:

  • Анализ устойчивости высокотемпературной плазмы;
  • Расчет течений в каналах и трубах;
  • Моделирование процессов прямого преобразования энергии;
  • Моделирование процессов астрофизических задач и т. д.

В статье рассматривается движение жидких металлов в каналах и замкнутых полостях.

Система уравнений магнитной гидродинамики является сложной и трудноразрешимой даже при рассмотрении относительно простых задач. Она состоит из следующих уравнений: уравнения Максвелла, уравнения гидродинамики и закон Ома.

В магнитогидродинамическом приближении система уравнений уравнения Максвелла записываются следующим образом:

,

,

,

.

где H – напряженность магнитного поля, Е – напряженность электрического поля, c – скорость света, t – время, J – плотность электротока, которая связана с Н и Е законом Ома[5, стр. 43]:

.

Здесь V – скорость движения жидкости,  – электропроводность. С помощью стандартных преобразований можно получить уравнение для напряженности магнитного поля в движущейся проводящей среде.

,

где  характеризует диффузию магнитного поля и называется магнитной вязкостью.

Уравнения гидродинамики включает в себя уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска, уравнение неразрывности и уравнение переноса тепла [2, с. 7]:

где   – Лапласиан, p – давление,  – средняя плотность жидкости, v –коэффициент кинематической вязкости, T – температура, F – объемная плотность сторонних сил,  – коэффициент температуропроводности.

В данном случае сторонние силы – результат действия поля силы тяжести и магнитного поля: . В приближении Буссинеска,[2, стр. 13] где g – ускорение свободного падения, – единичный вектор, который направлен в противоположную сторону силе тяжести,  – коэффициент теплового расширения. Объемная плотность электромагнитных сил .

С помощью стандартных преобразований запишем систему уравнений магнитной гидродинамики в безразмерной форме [5, с. 46]:

,

.

В качестве измерения расстояния используется .

В систему вошли четыре безразмерные параметра:

  • Число Рэлэя ()  – определяет поведение жидкости под воздействием градиента температуры.
  • Число Прандтля () – учитывает влияние физических свойств среды на теплоотдачу.
  • Число Гартмана (Ha = )  – определяет отношение магнитной силы к вязкой.
  • Магнитное число Прандтля ()

Постановка задачи.

В канал поступает электропроводная жидкость со средней скоростью на входе V0 = 5 см/c, плотностью 103 кг/м3, вязкостью 10-3 Па·с, электропроводностью 107cм/м. Высота канала 2, длина 40 где  = 1см (рис. 1). Рассчитать поле скорости для разных значений числа Гартмана Ha = 0, 5, 10, 20.

 

Рисунок 1. Постановка задачи

 

Здесь H0 мы вычислим с помощью числа Гартмана. За T0 примем 1000C. Численный метод основан на построении конечной разностной схемы для системы уравнений магнитной гидродинамики. Сначала задается начальные значения, а затем рассчитываются значения для следующей итерации [1, 6]. После выполнения расчетов мы получили следующие графики (рис. 2 – 6):

 

Рисунок 2. Значение скорости при Ha = 0

 

Рисунок 3. Значение скорости при Ha = 5

 

Рисунок 4. Значение скорости при Ha = 10

 

Рисунок 5. Значение скорости при Ha = 20

 

Рисунок 6. Зависимость скорости безразмерной величины V/Vот безразмерной координаты y/

 

Таким образом, число Гартмана значительно влияет на значение скорости, причем в обратно пропорциональной зависимости. При числе Ha = 0 – магнитного поля нет, следовательно, график скорости похож на параболу. При увеличении числа Гартманау нас происходит деформация профиля скорости, он становится более заполненным, более плоским близким к стержневому.

 

Список литературы:

  1. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. – М.: Физматлит, 1994. – 443 с.
  2. Гершуни Г. З. Конвективная   устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. – М.: Наука, 1972. – 392 с.
  3. Колмычков В. В. Анализ алгоритмов решения трехмерных уравнений Навье–Стокса в естественных переменных // В. В. Колмычков, О. С. Мажорова, Ю. П. Попов // Дифференцильные уравнения. – 2006. – № 42 (7). – С. 932-942.
  4. Колмычков В. В. К расчету уравнений Навье-Стокса в естественных переменных / В. В. Колмычков, О. С. Мажорова, Ю. П. Попов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. – 2001. – № 60. – C. 39.
  5. Куликовский А. Г. Магнитная гидродинамика / А. Г. Куликовский, Г. А. Любимов. – М.: Логос, 2005. – 326 с.
  6. Моисеенко Б.Д. Консервативные разностные схемы для уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных Эйлера / Б. Д. Моисеенко, И. В. Фрязинов // Ж. вычисл. математики и мат. физики. – 1981. – Т. 21, № 5. – С. 1180-1191..
  7. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Том 1 / К. Флетчер. – М.: Мир, 1991. – 502 с.
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 8 голосов
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий