ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

При движении электропроводной жидкости или плазмы в магнитном поле индуцируется электрическое поле и возникает электрический ток. В свою очередь взаимодействие тока с магнитным полем вызывает изменение движения жидкости и изменение магнитного поля. Магнитная гидродинамика – это раздел механики сплошных сред, изучающий движение электропроводных сред в присутствии магнитного поля. При движении такого рода возникают новые механические эффекты и открываются новые методы воздействия на движение жидкости. Выделяют три группы жидкостей, которые обладают достаточно высокой теплопроводностью: плазма, растворы электролитов, жидкие металлы.

К задачам магнитной гидродинамики можно отнести:

• Анализ устойчивости высокотемпературной плазмы;
• Расчет течений в каналах и трубах;
• Моделирование процессов прямого преобразования энергии;
• Моделирование процессов астрофизических задач и т. д.

В статье рассматривается движение жидких металлов в каналах и замкнутых полостях.

Система уравнений магнитной гидродинамики является сложной и трудноразрешимой даже при рассмотрении относительно простых задач. Она состоит из следующих уравнений: уравнения Максвелла, уравнения гидродинамики и закон Ома.

В магнитогидродинамическом приближении система уравнений уравнения Максвелла записываются следующим образом:

,

,

,

.

где H – напряженность магнитного поля, Е – напряженность электрического поля, c – скорость света, t – время, J – плотность электротока, которая связана с Н и Е законом Ома[5, стр. 43]:

.

Здесь V – скорость движения жидкости,  – электропроводность. С помощью стандартных преобразований можно получить уравнение для напряженности магнитного поля в движущейся проводящей среде.

,

где  характеризует диффузию магнитного поля и называется магнитной вязкостью.

Уравнения гидродинамики включает в себя уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска, уравнение неразрывности и уравнение переноса тепла [2, с. 7]:

где   – Лапласиан, p – давление,  – средняя плотность жидкости, v –коэффициент кинематической вязкости, T – температура, F – объемная плотность сторонних сил,  – коэффициент температуропроводности.

В данном случае сторонние силы – результат действия поля силы тяжести и магнитного поля: . В приближении Буссинеска,[2, стр. 13] где g – ускорение свободного падения, – единичный вектор, который направлен в противоположную сторону силе тяжести,  – коэффициент теплового расширения. Объемная плотность электромагнитных сил .

С помощью стандартных преобразований запишем систему уравнений магнитной гидродинамики в безразмерной форме [5, с. 46]:

,

.

В качестве измерения расстояния используется .

В систему вошли четыре безразмерные параметра:

• Число Рэлэя ()  – определяет поведение жидкости под воздействием градиента температуры.
• Число Прандтля () – учитывает влияние физических свойств среды на теплоотдачу.
• Число Гартмана (Ha = )  – определяет отношение магнитной силы к вязкой.
• Магнитное число Прандтля ()

Постановка задачи.

В канал поступает электропроводная жидкость со средней скоростью на входе V₀ = 5 см/c, плотностью 10³ кг/м³, вязкостью 10^-3 Па·с, электропроводностью 10⁷cм/м. Высота канала 2, длина 40 где  = 1см (рис. 1). Рассчитать поле скорости для разных значений числа Гартмана Ha = 0, 5, 10, 20.

Рисунок 1. Постановка задачи

Здесь H₀ мы вычислим с помощью числа Гартмана. За T₀ примем 100⁰C. Численный метод основан на построении конечной разностной схемы для системы уравнений магнитной гидродинамики. Сначала задается начальные значения, а затем рассчитываются значения для следующей итерации [1, 6]. После выполнения расчетов мы получили следующие графики (рис. 2 – 6):

Рисунок 2. Значение скорости при Ha = 0

Рисунок 3. Значение скорости при Ha = 5

Рисунок 4. Значение скорости при Ha = 10

Рисунок 5. Значение скорости при Ha = 20

Рисунок 6. Зависимость скорости безразмерной величины V/V₀ от безразмерной координаты y/

Таким образом, число Гартмана значительно влияет на значение скорости, причем в обратно пропорциональной зависимости. При числе Ha = 0 – магнитного поля нет, следовательно, график скорости похож на параболу. При увеличении числа Гартманау нас происходит деформация профиля скорости, он становится более заполненным, более плоским близким к стержневому.

Список литературы:

1. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред / О. М. Белоцерковский. – М.: Физматлит, 1994. – 443 с.
2. Гершуни Г. З. Конвективная   устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. – М.: Наука, 1972. – 392 с.
3. Колмычков В. В. Анализ алгоритмов решения трехмерных уравнений Навье–Стокса в естественных переменных // В. В. Колмычков, О. С. Мажорова, Ю. П. Попов // Дифференцильные уравнения. – 2006. – № 42 (7). – С. 932-942.
4. Колмычков В. В. К расчету уравнений Навье-Стокса в естественных переменных / В. В. Колмычков, О. С. Мажорова, Ю. П. Попов // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. – 2001. – № 60. – C. 39.
5. Куликовский А. Г. Магнитная гидродинамика / А. Г. Куликовский, Г. А. Любимов. – М.: Логос, 2005. – 326 с.
6. Моисеенко Б.Д. Консервативные разностные схемы для уравнений вязкой несжимаемой жидкости в переменных Эйлера / Б. Д. Моисеенко, И. В. Фрязинов // Ж. вычисл. математики и мат. физики. – 1981. – Т. 21, № 5. – С. 1180-1191..
7. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Том 1 / К. Флетчер. – М.: Мир, 1991. – 502 с.