СИСТЕМА КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ MAXIMA И КЛАССИЧЕСКИЕ КРИПТОСИСТЕМЫ

В последнее время наблюдается активное внедрение систем компьютерной алгебры в образовательный процесс, позволяющих формировать инновационные технологии обучения [1, 2, 8]. Одной из таких систем является Maxima: она успешно сочетает символьные манипуляции, вычислительную математику и является свободно распространяемой, что делает её весьма популярной. В настоящее время технологии сопровождения математического моделирования, несмотря на свою эффективность и наглядность, в силу различных причин, еще недостаточно распространены в учебном процессе, что не способствует интеграции системы высшего образования России в мировое пространство высшего образования.

Целью данной статьи является реализация в среде Maxima основных типов классических криптосистем. Начальные навыки работы в системе компьютерной алгебры Maxima, подробно рассмотрены в [1].

Криптография – наука, занимающаяся разработкой и изучением методов передачи конфиденциальной и аутентичной информации. Под открытым текстом понимаются любые данные предназначены для передачи. Открытый текст всегда можно представить в виде последовательности целых чисел, причем этого можно достичь многими способами, например, заменив текстовые символы их ASCII-кодами. Под шифротекстом понимается результат применения к открытому тексту некоторого алгоритма шифрования, который зависит от дополнительной информации, называемой ключом. Для задания криптосистемы нужно задать алгоритмы шифрования и дешифрования, а также задать ключи шифрования и дешифрования.

Более обобщенно, криптосистемой называется пятерка параметров (P, C, K, E, D), где P - множество открытых текстов, C - множество шифротекстов, K - множество ключей, - функция шифрования и - функция дешифрования, причем для всех открытых текстов x и для всех ключей k. Атака на криптосистему заключается в действиях, направленных на получение ключа k, что позволит дешифровать любой переданный шифротекст. Система шифрования считается известной в силу принципа Керкгоффса. Данная статья является альтернативой (с точки зрения используемой системы компьютерной алгебры) [3, 4, 6] и направлена на популяризацию систем компьютерной алгебры.

Дадим краткое описание языка программирования системы Maxima и стандартных процедур, необходимых для решения типовых задач шифрования [7].

Простая замена. Идея этого шифра очень проста: выбирают перестановку букв алфавита, и заменяют каждую букву в обычном тексте на другую букву из криптоалфавита.

Такие замены очень просто могут быть реализованы в Maxima. Для начала, определяются два ''алфавита''- один для нашего исходного сообщения (Алфавит - A), и один для нашего шифруемого сообщения (Криптоалфавит - C). Второй является перестановкой первого.

 -->                  kill(all);

A:makelist(ascii(i),i,65,90);

(%o0)    

(A)         

  -->                 C:["N","O","P","Q","R","S","T","U","V","W","X","Y","Z","A","B","C","D","E","F","G","H","I","J","K","L","M"];

(C)      

Нижеприведённые функции выполняют операции шифрования и дешифрования сообщения (Да здравствует криптография- лат.).

 -->             m:split("YESHELLOCRYPTOGRAPHY","");

(m)            

(%i4)               h:makelist(C[cint(m[i])−64],i,1,length(m));

(h)             

(%i5)               h1:makelist(A[cint(m[i])−64],i,1,length(m));

(h1)           

Криптосистема Цезаря.

Простой и древней криптосистемой является шифр сдвига, или шифр Цезаря. Для этой криптосистемы P = C, то есть множества шифротекста и открытых текстов совпадают и равны таблице символов ASCII.

Допустим, нам нужно зашифровать шифром Цезаря текст "Veni, vedi, vici". Сначала определяем соответствующее сообщение:

(%i1)               kill(all);

s:"Venivedivici.";

(%o0)        

(s)              

Преобразуем сообщение в список:

(%i2)               t1:charlist(s);

(t1)            

 Определяем ключ (t) и преобразуем сообщение в строку (список) символов состоящих из символов ASCII-кодов, с учетом значения ключа (t).

(%i3)               t:4;

(t)              

(%i4)               t2:map(cint,t1)+t;

(t2)            

Проверяем формирование шифр сообщения список.

(%i6)               t3:map(ascii,t2);

(t3)            

Повторное применение этой команды восстанавливает исходный текст:

(%i7)               t4:map(ascii,t2−4);

(t4)            

Окончательный вид:

 -->                  simplode(t4,"");

(%o7)        

В оригинальном шифре Цезаря сдвиг k был равным 3.

Выводы. В статье предложена методика изучения основ криптографии с использованием известной системы компьютерной алгебры Maxima. Такие подходы, по мнению авторов, могут способствовать активизации учебно- познавательной деятельности студентов и повышать эффективность организации их самостоятельной работы. Кроме того, они внесут новизну в традиционные методы обучения, которые сейчас характеризуются пассивностью и эпизодическим бессистемным использованием информационных технологий.

Список литературы:

1. Красильников В.В. Простейшие криптографические преобразования в среде MAPLE [Текст]/ В.В. Красильников, А.А. Оленев, В.С. Тоискин, К.Т. Тынчеров // Актуальные вопросы инженерного образования-2016: сборник научных трудов Международной научно-методической конференции, посвященной 60-летию филиала УГНТУ в г. Октябрьском / ред. кол. В.Ш. Мухаметшин. [и др.]. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2016. - С. 291-298.
2. Красильников В.В. Использование системы компьютерной алгебры MAPLE в булевой алгебре [Текст] / В.В. Красильников, А.А. Оленев, В.С. Тоискин, К.Т. Тынчеров // Актуальные вопросы инженерного образования-2016: сборник научных трудов Международной научно-методической конференции, посвященной 60-летию филиала УГНТУ в г. Октябрьском / ред. кол. В.Ш. Мухаметшин. [и др.]. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2016. - С. 303-310.
3. Малиатаки В.В. Совершенствование математической подготовки учителя в вузе на основе использования СКА Maple [Текст] / В.В. Малиатаки, Л.М. Медведева, А.А. Оленев // Актуальные вопросы инженерного образования – 2015: сборник научных трудов Международной научно-методической конференции (Октябрьский, 27 ноября 2015 г.) / отв. ред. К.Т. Тынчеров. – Уфа: Альфа Принт, 2016. – С. 129-134.
4. Оленев, А.А. Особенности реализации алгоритма Евклида в Maple [Текст] / А.А. Оленев // Актуальные вопросы инженерного образования: компетентностная модель выпускника – 2014: сборник научных трудов / отв. ред. К.Т. Тынчеров. – Уфа: Аркаим, 2014. – С. 80–87.
5. Оленев А.А. Логические элементы и схемы в СКА MAPLE [Текст] / А.А. Оленев, В.В. Малиатаки, К.Т. Тынчеров // Современные технологии в нефтегазовом деле – 2017: сборник трудов международной научно-технической конференции в 2-х томах./ отв. ред. В.Ш. Мухаметшин. – Уфа: Изд-во УГНТУ, 2017. - С. 280-283.
6. Оленев А.А Создание maplet для решения простейших комбинаторных задач [Текст] /А.А. Оленев, В.В. Малиатаки // Наука сегодня: проблемы и перспективы развития: сборник (материалы) международной научно-практической конференции: в 2 частях. Научный центр «Диспут». – Вологда: Изд-во: ООО «Маркер», 2016. - С. 135-137.
7. Чичкарёв Е. А. Компьютерная математика с Maxima: Руководство для школьников и студентов / Е. А. Чичкарёв — М.: ALT Linux, 2012. — 384 с.: ил. — (Библиотека ALT Linux).
8. Мао В. Современная криптография / Мао В.; пер. с англ. – М.: Вильямс, 2005. – 768 с.