ИССЛЕДОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГРУНТОВЫХ ОСНОВАНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ СПЛОШНОЙ СРЕДОЙ, МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА ПРИМЕРЕ ЗАДАЧИ О ШТАМПЕ

На сегодняшний день в инженерных расчетах метод конечных элементов является наиболее часто используемым численным методом [4, 5]. Это обусловлено несколькими причинами. Во-первых, это его универсальность и та простота, с которой можно учитывать самые разнообразные свойства грунтов вести вычисления по очень сложным моделям. Во-вторых, это – интенсивное развитие и широкое внедрение в практику проектирования ряда вычислительных машин, основанных на нем (Midas, Plaxis, Sofistik и др.). В связи с тем, что расчеты с помощью метода конечных элементов становятся повседневным явлением в практике проектирования, заставляет особенно внимательно отнестись к проблемам, возникающим при его использовании.

Одной из таких проблем, которую можно считать ключевой при проектировании оснований, является проблема оценки предельной нагрузки в упругопластических расчетах методом конечных элементов [2, 3].

Целью представленной работы является определение границ применимости метода конечных элементов для решения задач о несущей способности грунтового массива.

Главная задача данного исследования заключается в сопоставлении фундаментальных законов механики сплошной среды (в частности выполнения уравнения равновесия) с результатами численных расчетов напряженно-деформированного состояния грунтового массива в упруго-пластическом состоянии.

Несколько слов о постановке и принципиальной схеме решения упругопластических задач деформирования грунта.

В упругопластическом теле существуют области, как упругих, так и пластических деформаций. Заметим, что грунт проявляет упругость в очень незначительной степени. Поэтому термин «упругий» в данной задаче носит условный характер, указывая лишь на работу грунта в допредельном состоянии и линейную связь между напряжениями и деформациями [1].

Согласно общим положениям «Механики сплошной среды» в «упругой» области должны выполняться:

- уравнения равновесия (1):

                                      (1)

- уравнения, связывающие напряжения и деформации, в частности, закон Гука (2):

                                     (2)

- уравнения совместности деформаций (3):

                                                     (3)

В пластической области должны выполняться:

- уравнения равновесия (1);

- условие прочности (Закон Кулона-Мора) (4):

;                                                       (4)

- уравнения, связывающие напряжения и приращения деформаций (5):

;                                           (5)

- уравнения совместности полных деформаций (6):

.                                           (6)

Кроме этого, на границе «упругой» и пластической областей должны выполняться условия непрерывности напряжений и деформаций, а по контуру среды - граничные условия, наложенные на напряжения и деформации.

Требование совместности деформаций означает, что, если условно разбить тело на элементарные прямоугольники до нагружения, то после приложения нагрузки, сдеформировавшись, эти прямоугольники вновь составят это же тело после деформации, причем будут плотно прилегать друг к другу.

Основные положения упругопластического расчета методом конечных элементов (МКЭ).

Рассмотрим порядок упругопластического расчета в рамках МКЭ. Нагрузка на основание увеличивается пошаговым методом. После того, как сделан очередной шаг нагружения, в каждой точке грунта (в МКЭ это означает - для каждого конечного элемента) вычисляется функция

.           (7)

Очевидно, что если ¦(s_ij) < 0, то грунт находится в допредельном состоянии и его деформирование описывается законом Гука. Если ¦(s_ij) = 0, то в данной точке грунта достигнуто предельное напряженное состояние и процесс деформирования будет описываться специальным уравнением состояния. В случае ¦(s_ij) > 0 - напряженное состояние не может существовать.

В соответствии со сказанным на следующем шаге нагружения определяется характер деформирования в данной точке грунта (конечном элементе):

при ¦(s_ij) < 0 -

;                                        (8)

при ¦(s_ij) = 0 -

.                                        (9)

Уравнение (8) определяет процесс линейного деформирования грунта в «упругой» области и представляет собой обобщенный закон Гука, записанный в матричной форме. Матричное уравнение (9) определяет пластическое деформирование грунта и называется уравнением состояния упругопластической среды.

В формулах (8) и (9):

{ds} и {de} - матрицы-столбцы приращений напряжений и полных деформаций, которые определяют изменение напряженно-деформированного состояния грунта в процессе нагружения: {ds}^T={ds_x, ds_z, dt_xz}, {de}^T={de_x, de_z, dg_xz};

{de^e} - матрица-столбец «упругих» деформаций: {de^e}^T={de_x^e, de_z^e, dg_xz^e};

 - «упругая» матрица для условий плоской деформации;

 - упругопластическая матрица.

Уравнения (8) и (9) выражают только часть требований, предъявляемых к упругопластическим решениям. Что касается остальных положений упругопластического расчета, то можно считать, что уравнения МКЭ автоматически удовлетворяют условиям совместности и условиям равновесия каждого узла конечно-элементной сетки.

Идея научной работы заключается в проверке условий равновесия в определенном конечном элементе при прохождении через него зон пластических деформаций.

В исследовании рассматривается процесс вдавливания жесткого штампа в упруго-пластическую грунтовую среду, представленную невесомым сыпучим грунтом.

Для моделирования аналитической задачи с помощью программного комплекса Midas GTS v.2.1 2013 создаётся конечно-элементная модель основания под штампом (для условий плоской деформации). Штамп моделируется жестким. Грунтовый массив представлен в виде невесомой плоской пластинки, не допускающий влияния краевых условий. Габаритные размеры расчетной модели 20×15 м, штамп длиной 2,5 м. Пластинка может свободно передвигаться относительно вертикальной оси, а по нижней грани закреплена от горизонтальных перемещений (рисунок 1).

Рисунок 1. Расчетная схема

Основание рассматривается как идеально упруго-пластическая среда, с условием критерия прочности по Мору-Кулону, при этом закон пластического течения принимается ассоциированным. Произведена серия расчетов с изменением прочностных характеристик грунтового массива:

Нагружение осуществляется ступенями примерно равными 1/10 или 1/20 от теоретической оценки предельного давления. Теоретическая оценка предельного давления или иначе, несущая способность основания определяется методами теории предельного равновесия грунтов, а именно по формуле Л. Прандтля (10).

                          (10)

При этом в работе рассмотрена проверка условий равновесия на каждом шаге нагружения как в элементарном конечном элементе, так и в произвольных областях основания.

Вначале осуществлялась проверка равновесия только одного КЭ, для этого был создан расчет грунтового основания под штампом.

Деформационные и прочностные характеристики грунта: угол внутреннего трения,  = 30; удельное сцепление, соответственно с = 1 кПа; модуль деформации грунта, Е = 5000 кПа; коэффициент Пуассона,  = 0,3;

Предельное давление рассчитано по формуле (1)

При расчете в программном комплексе давление задается на 20-50 % больше чем определенное по строгому решению ТПРГ. Это связано с более глубоким изучением поведения грунтового массива находящегося в предельном состоянии.

Приращение по нагрузке составляет 1 кН/м, соответственно выполняются серии из 40 расчетов.

В результате устанавливается зависимость изменения деформации от увеличения нагрузки. Потеря полной несущей способности основания происходит при прохождении первой критической нагрузки. Как показано на рисунке 2 дальнейшее повышение нагрузки приводит к большему деформированию, а следовательно, стремится ко второй критической нагрузке.

Рисунок 2. График зависимости деформации от нагрузки

Проверка условий равновесия осуществлялась пошагово.

Выбирается один конечный элемент (рисунок 3).

Рисунок 3. «Правило знаков» для интерпретации результатов КЭ модели

Каждому из напряжений  присваивается (σ_z, σ_x, τ_xz, τ_zx) присваивается порядковый номер (рисунок 4).

При помощи программы Microsoft Excel находится каждое из усилий, а именно рассчитывается среднее значение напряжения действующего на каждую из граней.

Рисунок 4. Порядковые номера напряжений

Проверка условий равновесия осуществлялась по формулам основанных на формулах (1-6), за исключением уравнений моментов, это было обусловлено тем, что условия равновесия не выполняются, т. е. суммы проекций усилий на оси X и Z не дают нуля, а соответственно уравнения моментов проверки не требуют, т. к. и они явно не дадут невязку равную нулю.

Обнаружено, что пока конечный элемент находится в упругой области, выполнение уравнений равновесия не превышает одного процента, что нормально для численных методов, но впоследствии, когда этот конечный элемент попадает в область разрушения невязка уравнений равновесия, приобретает явный характер, т. е. качественно начинают не выполняться уравнения равновесия (рисунок 5).

Рисунок 5. График зависимости невязки уравнений равновесия от приращения нагрузки на штамп

Далее проводилась проверка условий статического равновесия плоской области, состоящей из конечных элементов.

Проверка условий равновесия осуществлялась по вышеперечисленному алгоритму. Изменение заключается в нахождении равнодействующей усилий. В связи с тем, что каждая из областей имеет не квадратную форму, а прямоугольную с размерами 10×7 КЭ, поэтому каждое из усилий умножалось на длину грани, подверженную его действию.

Выполненный анализ позволяет сделать три важных вывода:

При выполнении упругопластических расчетов следует осуществлять прямую проверку выполнения уравнений равновесия.

Область применения анализа упругопластического поведения грунтового массива должна ограничиваться условием выполнения общих уравнений равновесия.

При невозможности выполнить прямую проверку равновесия величину предельной нагрузки, получаемой в упругопластических расчетах грунтовых массивов, необходимо контролировать решениями ТПРГ.

Заключением проведенного исследования является то, что решения, полученные при помощи аппарата МКЭ нужно в обязательном порядке контролировать строгими решениями, например статическим методом предельного равновесия грунтов, это связанно с невозможностью определения предельного значения нагрузки в плоской постановке при применении конечных элементов первого порядка.

А также, условия равновесия не выполняются, как в единичном конечном элементе, так и в разных по размерам и положению областях конечных элементов. Достоверные результаты расчетов при решении упруго-пластических задач можно получить только в упругой стадии работы грунтов, что встречается крайне редко.

Список литературы:

1. Гольдштейн М.Н. Механические свойства грунтов. – М.: Стройиздат, 1979. – 304 с.
2. Королев К.В. Плоская задача теории предельного равновесия грунтов. – Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2010. – 251с.
3. Королев К.В., Караулов А.М. Об определении предельной нагрузки в упругопластических расчетах грунтовых оснований методом конечных элементов // Геотехника: актуальные теоретические и практические проблемы. Межвуз. тем. сб. тр. СПбГАСУ. – СПб: СПбГАСУ, 2007. – С. 102-107.
4. Парамонов В.Н. Метод конечных элементов при решении нелинейных задач геотехники: Группа компаний «Геореконструкция». – СПб, 2012. – 264 с.
5. Улицкий В.М., Шашкин А.Г., Шашкин К.Г., Шашкин В.А. Основы совместных расчетов зданий и оснований. – СПб.: Изд-во института реконструкция, 2014. – 328 с.