Некоторые аспекты использования математического аппарата операционного исчисления в электротехнике

Аннотация

В статье рассматриваются методические аспекты применения операционного исчисления для решения сложных электротехнических задач с помощью одного из операторных способов. Операционное исчисление используется в различных областях науки и техники, особенно в тех, которые связаны с решением линейных дифференциальных уравнений. В частности операционное исчисление применяется при решении многих вопросов и задач физики, механики, теории автоматического регулирования, электротехники, электроэнергетики, радиотехники, теплотехники и т.д.

Ключевые слова: Синусоидальный режим, уравнения Кирхгофа, операционное исчисление, электрическая цепь (ЭЦ), комплекс действующих значений.

При расчетах установившихся режимов в электрической цепи (ЭЦ) с синусоидальными источниками энергии часто сталкиваются с необходимостью решения систем дифференциальных уравнений Кирхгофа, в которых в качестве неизвестных выступают синусоидальные токи в ветвях цепи. При этом необходимо выполнять алгебраические операции сложения и вычитания синусоидальных функций времени, операции их дифференцирования и интегрирования. Конечно, существуют тригонометрические процедуры, обеспечивающие все эти операции, что зачастую требует громоздких и трудоемких вычислений, являющихся следствием того, что синусоидальная величина- ток, напряжение, ЭДС- при заданной частоте описывается двумя величинами- амплитудой и начальной фазой. В некоторых случаях расчет существенно упрощается заменой алгебраических действий над синусоидальными функциями геометрическими графическими операциями над изображающими их векторами, однако при этом снижается точность решения.

В то же время в математике часто используют метод анализа, основанный на операторном подходе, например логарифмирование. Суть операторного подхода заключается в переходе  вычислительных операций из области исходных функций, называемых оригиналами, в область специальных функций, называемых изображениями.

При расчетах синусоидальных установившихся режимов в ЭЦ эффективным оказывается переход от синусоидальных функций времени (оригиналов) к комплексным изображениям этих функций. В основе этого перехода лежит известная формула Эйлера:

  где - амплитуда, - начальная фаза, - круговая частота синусоиды.

Оператор Im (imaginary, в переводе с английского - нереальный, мнимый) означает выполнение процедуры взятия мнимой части комплексного числа.

При расчетах ЭЦ в синусоидальном режиме в большинстве случаев источники схемы имеют одну и ту же частоту . В связи с этим переход к изображениям от функций оригиналов можно упростить, отбросив сомножитель :

Это позволяет изобразить синусоидальные функции времени комплексными числами , содержащими в себе две величины: модуль А и аргумент  при показательной форме записи    или вещественную  и мнимую  составляющие при алгебраической и тригонометрической формах записи   [1.c.186].

Заметим, что в курсе ТОЭ (теоретические основы электротехники) для удобства мнимая единица  обозначается как j. Это связано с общепринятым обозначением мгновенного значения электрического тока в электротехнической литературе в виде .

В результате при решении уравнений Кирхгофа вместо математических операций с тригонометрическими функциями времени будут операции с комплексными числами. Дифференциальные уравнения Кирхгофа для мгновенных значений токов-оригиналов будут превращены в алгебраические уравнения Кирхгофа для комплексов - изображений. Решение алгебраической системы уравнений, как известно на порядок проще решения системы дифференциальных уравнений.

Обратный переход от полученных в результате комплексов токов к синусоидальным функциям времени этих токов-оригиналов предельно прост, так как рассматриваемое функциональное преобразование удовлетворяет условию взаимно-однозначного соответствия.

Для частей комплексного числа употребляют обозначения:  –вещественная часть,  – мнимая часть. Отсюда следуют равенства:

 ;     ;

 ;    .

При  графическом изображении комплексных чисел по аналогии с изображениями точки по вещественным координатам  используется так называемая комплексная плоскость (рис.1). Горизонтальная ось этой плоскости отображает вещественные числа и обозначается   как Re (real- в переводе с английского -  вещественный) или (+1) , что часто используется в курсе ТОЭ. Вертикальная ось комплексной плоскости отображает мнимые числа и обозначается как  (imaginary) или +j (в курсах ТОЭ). Тогда комплексы действующих (амплитудных) значений токов и напряжений по аналогии с изображениями точки в полярной системе координат будут изображать точку на  комплексной плоскости. В курсе ТОЭ такое изображение видоизменяют, заменяя его векторным изображением (рис.2). В электроэнергетике чаще всего используют действующие значения токов и напряжений, которые,  как известно, в  раз меньше их амплитуд, поэтому при решении задач в ТОЭ обычно рассматривают комплексные действующие значения (или комплексы):         ;                 [1.c.190].

Рисунок 1. Графическое изображение точки на комплексной плоскости

Рисунок 2. Векторное изображение точки на комплексной плоскости​

Арифметические операции сложения и вычитания комплексных чисел удобно проводить, используя алгебраическую форму записи комплексных чисел. Арифметические операции умножения и деления удобнее проводить, используя показательную форму записи комплексного числа:

=      =;

 ;

Тем не менее, операции умножения и деления не исключают возможности использования и алгебраической формы записи комплексных чисел:

где      .

 При делении комплексных чисел в алгебраической форме следует и числитель, и знаменатель отношения умножить на сопряженное комплексное число знаменателя.

Напомним, что сопряженным называется комплексное число, у которого знак у мнимой части меняется на противоположный.

Таким образом, комплексный метод является методом алгебраизации дифференциальных уравнений. Суть его состоит в том, что сначала все заданные функции времени заменяются их комплексными изображениями, а все временные уравнения, составленные по законам Кирхгофа - алгебраическими уравнениями в комплексной форме. Далее находим комплексные выражения искомых функций и уже от них переходим к оригиналам.

 При современном уровне развития вычислительной техники алгебраические операции с комплексными числами и пересчет их из одной формы записи в другую легко выполняются, например, на инженерных калькуляторах. Еще проще проводить эти вычисления на персональных  компьютерах, оснащенных простейшими математическими пакетами.

Следует отметить, что изложенный материал использования операционного исчисления далеко не исчерпывает его возможности, например, операторный подход можно использовать и при расчетах нестационарных режимов (переходных процессов) в ЭЦ.

Список литературы:

1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1.-4-е изд.-СПб.: Питер, 2003.-463 с.:ил.

2. URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/Операционное_исчисление ( дата обращения 18.07.2017).