ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗДАНИЯ

Свободные колебания системы зависят от ее начальных условий, таких как скорость, смещение, ускорение, и конструктивных характеристик. При этом начальные условия соответствуют тому моменту, в который с системы сняли внешнее воздействие. Данные колебания в одной и той же системе могут быть разными с изменяющейся во времени конфигурацией эпюры динамических прогибов, так как начальные условия могут быть различными.

При исследовании сложных составных сооружений многообразие аналитических решений для оболочек канонической формы и пластин оказывается мало востребованным, вследствие их частого моделирования на основе дискретных схем. При этом теряется точность расчетов из-за ухудшения качества модели составного тела по отношению к моделям, включенным в него элементов.

При динамическом расчете каркасного здания рассматривается плоская рама, на основании которой изучаются поперечные и продольные колебания каркаса. Колонны рассматриваются как безынерционные стержни, масса которых присоединяется к массе перекрытий: половина массы присоединятся к массе нижележащего, другая половина к массе вышележащего перекрытия. Рама рассматривается как система с конечным числом степеней свободы, которое равно числу этажей здания. В настоящей работе будем рассматривать только расчетные схемы здания со сдвиговыми поступательными колебаниями.

В качестве примера, нужно определить частоты и формы колебаний системы с двумя степенями свободы изображенной на рис. 1., если известны следующие данные: = 30 тонн,  = 20 тонн,  = 20000 кН/м, = 15000 кН/м.

Рисунок 1. Рама – колебательная система.

Уравнения свободных колебаний системы.

С помощью уравнений Лагранжа второго рода составим уравнения колебаний. В точках 1 и 2 в процессе колебаний развиваются усилия

 и , поэтому потенциальная энергия системы имеет вид:

Кинетическая энергия системы:

Подставим эти выражения в уравнение Лагранжа:

                                       (i=1,2)                                (2.1)         

Сначала образуем соответствующие производные:

Тогда уравнения (2.1) будут следующие:

 =0

Уравнения колебания (2.2) запишем в матричной форме:

или:

                                                                          (2.3)

где:

Решения однородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка (2.3) имеют вид:

                                                                       (2.4)

                                                                (2.4a)

                                     (2.4b)

Подставляя (2.4) и  (2.4b) в уравнение (2.3) получается:

Или

                                                                       (2.5)

Определение частот колебаний.

Для существования ненулевого решения для вектора {φ} в однородной системе уравнений (2.5), необходимо обратить в нуль главный определитель уравнений, или:

                                                                                 (2.6)

                                                       (2.7)

Уравнение (2.7) называется характеристическим. Раскрывая определитель, получим:

или:

                                          (2.8)

Таким образом, получаются собственные частоты [рад/с], периоды колебаний [c] и технические частоты колебаний системы [Гц]:

,  

,

Определение форм колебаний.

Для определения вектора {φ} необходимо в систему (2.5) подставить вместо ω значение , вычеркнуть одну строку (так как система линейно зависима) и задать одну из компонент вектора (примем =1). В нашем случае уравнения (2.5) будут иметь вид:

Таким образом, образуется модальная матрица системы (или матрица собственных векторов) с помощью совокупности всех собственных векторов:

Рисунок 2. Собственные формы колебаний каркаса

На рис. 2. изображены собственные формы колебания каркаса с двумя степенями свободы. Спектр собственных форм колебаний системы и спектр частот определяют найденные  и . Это основные динамические характеристики любой динамической системы.

Для многоэтажного каркасного здания число частот и соответствующих им форм свободных горизонтальных колебаний равно числу этажей – числу степеней свободы. При этом массы колонн и перекрытий считаются сосредоточенными в узлах.

Расчет вынужденных гармонических колебаний.

Пусть двухъярусное однопролетное бескаркасное здание находится под воздействием гармонической нагрузки, которая передается от источника с несбалансированным ротором, вращающимся с постоянной частотой Ω.

Источник установлен в центре тяжести нижнего перекрытия и создает реактивное усилие в плоскости XZ (рис.3а).

Рисунок 3. Эпюры перемещений призматической оболочки при вибрационном воздействии. а) схема сооружения: 1-бескаркасное здание, 2-источник гармонической нагрузки; б) Ω=4 Гц; в) Ω=8 Гц; г) Ω=10 Гц.

В данном случае компоненты нагрузки изменяются по закону Р_x=Р₀ sin(Ωt), Р_z=Р₀cos (Ωt), где Р₀ – амплитудное значение нагрузки, равное Р₀= 10 кН.

Физико-механические характеристики материала и геометрические размеры здания приняты те же, что и в первом пункте. Это позволило в полной мере воспользоваться результатами расчета в части форм колебаний и частот этой системы.

Эпюры амплитудных значений перемещений в сечении y= 0.5L для воздействий с различными частотами вращения ротора Ω приведены на рисунке 3 б,в,г.  Данный характер графиков показывает, что возможны режимы работы источника, при которых конструкция совершает преимущественно поперечные колебания со слабым деформированием перекрытий (например при Ω=4 Гц,  Ω=8 Гц), а также колебания, которые характеризуются значительными изгибными деформациями стен зданий и перекрытий (Ω=10 Гц).

Важен тот факт, что отклики в разных местах сооружения происходят при различных значениях частоты Ω. Так, например, для поперечных перемещений стен сооружения наиболее опасным является диапазон от 2 до 9 Гц (зона I). В то же время для перекрытий наиболее неблагоприятной является зона II в интервале от 8 до 14 Гц. Резонансная зона для всего сооружения имеет диапазон от 2 до 14 Гц. Наиболее наглядно влияние частоты воздействия Ω на амплитудные перемещения характерных точек сооружения представлено на резонансных кривых.

Полученные результаты являются основанием для оценки возможных последствий эксплуатации оборудования в различных режимах его работы. Для источников с низкочастотным возбуждением Ω<2 Гц, мероприятий по защите от вибраций не требуется. Наиболее неблагоприятной для сооружения является эксплуатация оборудования в стационарном режиме с частотами Ω от 2 до 14. Поэтому требуются специальные мероприятия по обеспечению его виброзащиты. Источники, имеющие в стационарном режиме работы частоты Ω>14 Гц, приводят к появлению временных динамических нагрузок в режимах пуска-остановки оборудования.

Выводы:

1. Для источников с низкочастотным возбуждением Ω<2 Гц, мероприятий по защите от вибраций не требуется. Наиболее неблагоприятной для сооружения является эксплуатация оборудования в стационарном режиме с частотами Ω от 2 до 14. Поэтому требуются специальные мероприятия по обеспечению его виброзащиты.

2. Для поперечных перемещений стен сооружения наиболее опасным является диапазон от 2 до 9 Гц (зона I). В тоже время для перекрытий наиболее неблагоприятной является зона II в интервале от 8 до 14 Гц. Для всего сооружения резонансная зона имеет диапазон от 2 до 14 Гц.

Список литературы:

1. Бидерман В.П. Прикладная теория механических колебаний. \М.: Высшая школа, 1972.
2. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. \М.: Госстройиздат,1958.
3. Вронская Е.С. Динамический расчет призматических оболочек с распределенными параметрами. / INTERNATIONAL CONFERENCE Актуальные проблемы надежности технологических, энергетических и транспортных машин. Том 1. RUSSIA, SAMARA, November 25-27, 2003.
4. Вронская Е.С. Расчет призматических оболочек структурным методом начальных параметров. / Материалы 5-ой международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры». Казахстан, Актобе, 2009.
5. Вронская Е.С. Статический расчет призматических систем структурным методом начальных параметров. //Сб. научных трудов. Ч.2. «Математические методы и модели в строительстве, архитектуре и дизайне» Самара. 2015.
6. Еленицкий Э.Я. Расчет свободных колебаний призматических систем с распределенными параметрами. //Известия вузов. Строительство. 1996, №7.
7. Потапов А.Н. Динамический анализ дис­кретных диссипативных систем при нестацио­нарном воздействии: Монография. — Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. -167 с.
8. Савович. М.К. ДИНАМИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ КАРКАСНЫХ ЗДАНИЙ. Югорский государственный университет. Учебное пособие Ханты-Мансийск, 2005.