ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ

Проектирование любого механизма начинается с проектирования его схемы. Последующие расчеты на прочность, конструктивное оформление звеньев и кинематических пар, выбор материалов и другие этапы проектирования, как правило, уже не могут существенно изменить основные свойства механизма. Проектирование схемы механизма по заданным его свойствам называется синтезом механизма [2].

Основной задачей оптимизации является определение выходных параметров из условия минимума целевой функции (функции цели, критерия оптимизации) при выполнении принятых ограничений.

Целевая функция есть математическое выражение основного условия синтеза. Если выделить одно основное условие синтеза затруднительно, то составляют несколько целевых функций и ищут компромиссное решение, при котором отдается предпочтение одной из целевых функций.

Ограничения. Дополнительные условия синтеза при решении задач синтеза выражаются обычно неравенствами, устанавливающими допустимые области существования параметров синтеза. Поэтому целевая функция вычисляется только для тех комбинаций параметров синтеза, которые удовлетворяют дополнительным условиям синтеза, т. е. ограничениям. Методы синтеза (оптимизации) свести в три группы; случайный поиск, направленный поиск и комбинированный поиск.

Метод случайного поиска достаточно прост, позволяет обозреть всю область возможных значений параметров синтеза, но требует выполнения очень большого объема вычислений.

Принято различать два этапа синтеза механизма.

Начальный этап синтеза механизмов связан с разработкой структурной схемы. Этот этап связан со структурным синтезом с использованием справочных данным по отдельным видам механизмов. На следующем этапе определяются постоянные параметры кинематической схемы механизма по заданным его кинематическим свойствам.

В общем случае решается задача динамического синтеза, которая связана с определением параметров, характеризующих распределение масс звеньев. К постоянным параметрам, определяющим схему механизма, могут быть отнесены длины звеньев, положение точек, описывающие заданные траектории или имеющие заданные значения скоростей и ускорений, массы звеньев, моменты инерции и т.п.

При синтезе механизмов приходится удовлетворить многим условиям, связанным с назначением механизма, эксплуатацией, технологией изготовления и т.д. Но из всех условий необходимо выбрать основное. Это может быть заданная траектория звена или точки, минимальное время перемещения, минимальные размеры механизма и т.п.

В работе [2] рассматривается синтез кривошипно-ползунного механизма.  Основное условие синтеза – найти параметры, обеспечивающие минимальные габариты механизма.

Решим задачу об оптимальном распределении масс звеньев кривошипно-ползунного механизма. Например, найдем такое распределение масс, которое обеспечивает минимум углового ускорения кривошипа при заданных значениях М – вращающего момента, приложенного к кривошипу, и R – силы сопротивления, действующей на ползун.

Механизм имеет одну степень свободы. За обобщенную координату примем угол поворота кривошипа. Для определения минимизирующей функции определим с помощью уравнении Лагранжа 2 рода уравнение движения рассматриваемой системы [3]. После преобразований получим

,

где   – приведенный момент инерции; Q – обобщенная сила.

 .

.

Условие  будет выполняться при

.

Функцию Δ приведем к полиному

Δ =  p₁ f₁  + p₂ f₂  + p₃ f₃  – F (φ),

где  ; ; ;  ; ,  – длины кривошипа и шатуна; , , – величины масс кривошипа, шатуна, ползуна; а, b – отрезки, определяющие положение центров масс соответственно кривошипа и шатуна.

Целевая функция

,

где i = 1, 2,…, n; n – число выбранных положений механизма, в которых должно быть обеспечено выполнение условия  = 0.

В постоянные коэффициенты  входят искомые параметры. Непрерывные функции f не содержат неизвестных параметров.

Коэффициенты   определяют из условия минимума целевой функции

, k =1, 2, 3.

После нахождения коэффициентов  (k = 1, 2, 3) определяются   величины, характеризующие распределение масс звеньев.

В работе [1] дан сравнительный анализ устройств для автоматизированного производства оптических стержней. Выявлено, что широко используемые устройства механизмов вытяжки с цепной передачей обладают целым рядом недостатков, приводящих к неравномерности движения цепи, а, следовательно, к колебаниям поперечного размера вытягиваемого стержня. Более высокое качество получаемых изделий может обеспечить механизм вытяжки кулачкового типа (рис.1) [4].

Рисунок 1. Механизм вытяжки кулачкового типа

На станине 1 этого устройства установлены стойки 2, внутри которых перемещаются грузы 3 и установлены пружины 4. К стойкам прикреплены направляющие 5, в которых перемещаются толкатели 6 с каретками 7 цилиндрического кулачка 8. Толкатели с помощью гибких тяг связаны с грузами.

Цикл движения захватов рассчитан так, чтобы обеспечивалась попеременная периодическая работа захватов. Рабочему ходу толкателей соответствует фаза опускания кулачка, а холостому ходу – фаза подъема.

Профиль кулачка на фазе опускания должен реализовывать линейный закон перемещения толкателя S(φ), где φ – угол поворота кулачка. Такой закон обеспечивает постоянство скорости υ вытягивания стержня (рис. 2).

Рисунок 2. Линейный закон перемещения толкателя

При реализации такого закона движения толкателя возможно появление жестких ударов в начале и конце фаз подъема и опускания, так как в этих точках возникают скачки скорости. Движение толкателей периодическое, поэтому жесткий удар может явиться источником не только свободных, но и вынужденных колебаний в механизме.

Чтобы избежать жестких ударов необходимо в начале и конце фаз подъема и опускания иметь переходные участки (порядка 0.1 от фазы подъема), в пределах которых скорость толкателя плавно достигает требуемого значения.

Движение толкателей на фазе опускания с постоянной скорость может быть обеспечена кулачком, профиль которого – винтовая поверхность. Соответствующая развертка профиля кулачка изображена на рис. 3 

Рисунок 3. Развертка профиля кулачка

На рис. 3 обозначены: λ, α – углы подъема винтовой линии профиля кулачка соответственно на холостом (фаза подъема) и рабочем (фаза опускания) ходах толкателя; S – ход толкателя.

Габариты кулачка существенным образом зависят от заданного значения хода толкателей и угла давления . При прочих равных условиях на минимизацию габаритов кулачка влияет выбор фазовых углов.

Введем параметр μ, характеризующий разделение периода движения толкателя на рабочий ход и холостой ход. Тогда рабочему ходу соответствует участок развертки окружности цилиндра кулачка, равный μπd (фаза опускания), а холостому – (1 – μ) πd (фаза подъема).

Из рис. 3 следует

.

При заданных значениях S,, d, определяющих требуемые габариты кулачкового механизма, полученное выражение позволяет определить соотношение между фазами подъема и опускания.

Наименьшее значение диаметра кулачка может быть достигнуто при μ =1. Этот случай реализован в устройстве, изображенном на рис. 1. Перемещение кареток, захвативших вытягиваемое изделие, вниз (рабочий ход) осуществляется с помощью кулачка. Перемещение кареток вверх (холостой ход) осуществляется с помощью грузов, падение которых амортизируют пружины.

Заключение

Приведенные методики составляют основу для проектирования механизмов различного типа и прежде всего рычажных и кулачковых.

Список литературы:

1. Алексеева Л.Б. Сравнительный анализ исполнительных устройств для автоматизированного производства оптических стержней // Сборник трудов II всероссийской науч.-прак. конф. аспирантов, мол. ученых и преп. – СПб.: Изд. СЗТУ, 2008. С.76-79.
2. Левитский Н.И.  Теория механизмов и машин: учебное пособие для вузов. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Наука, 1990. – 592 с. 
3. Тимофеев Г.А. Теория механизмов и машин: учебное пособие для бакалавров. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт, 2013. – 351 с.
4. Устройство для вертикального вытягивания стеклоизделий: А.с. 808386 СССР: МКИ С03В 23/04В.П.Уваров, Н.В. Григорьев, И.К. Бахарев, Д.К. Саттаров. – Опубл. 28.02.81.Бюл. № 8.