ФИЛЬТРАЦИЯ ШУМОВ ФИЛЬТРОМ КАЛМАНА НА ОСНОВЕ ПОСТОЯННОГО ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При обработке информации и результатов измерений возни­кает задача оценивания вектора состояния и параметров динами­ческих систем. Рассмотрим вначале случай, когда оценивается некоторый постоянный вектор, т.е.  имеется оценка это­го вектора и ошибка оценки. Так называемые байесовские оценки строятся путем минимизации некоторого функционала от ошибки, называемого байесовским риском. Одной из самых распространенных функций потерь является квадратичная.

Используем оценку, доставляющую минимум функционалу при определяемом соотношении. Она носит название оценки с минимальной среднеквадратичной ошибкой, и соответствующая оценка называется оценкой по максимуму апостериорной плотности вероятностей [1]. Это название объясняется тем, что минимизация функционала, приводит к нахождению максимума условной плотности распределения параметра. Следует отметить, что апостериорная плотность распределения как правило, заранее неизвестна.

Для нахождения оценки по максимуму апостериорной плотности вероятностей необходимо знать плотность распределения параметра. В данной работе предполагаем, что никаких априорных сведений о параметре нет. Этот случай можно рассматривать как предельный при неограниченном увеличении дисперсий всех компонент вектора, считая его гауссовским, имеющим плотность распределения.

Соотношения позволяют при получении очередного дополнительного измерения выразить соответствующую оценку. Такой алгоритм вычисления оценки называется последовательным. Соотношения независимы, поэтому они годятся как для байесовских оценок, так и для оценки максимального правдоподобия. Разница будет лишь в начальных значениях последовательного алгоритма.

Отметим, что последовательный алгоритм по форме совпадает с уравнением, связывающим оценку фильтрации с одношаговым предсказанием [2].

Предположим теперь, что в модели измерения никаких сведений о векторах нет: они могут быть неслучайными, но неизвестными или случайными с неизвестными параметрами распределения. В этом случае рассматривается общий полный функционал метода. Вектор, доставляющий минимум функционалу, называется оценкой наименьших квадратов.

Такую структуру матрица будет иметь, например, в случае если она совпадает с ковариационной матрицей шумов измерения.

Например, дискретный фильтр Калмана [3] может быть получен методом наименьших квадратов (МНК). При такой структуре матрицы существует последовательный алгоритм оценки наименьших квадратов. Таким образом, имеются три основных типа оценок постоянного вектора:

- байесовские;

- максимального правдоподобия;

- наименьших квадратов.

Они имеют одинаковый последовательный алгоритм их вычисления при условии, что матрица весов в МНК выбирается равной ковариационной матрице шумов измерения.

Оценим вектор состояния динамической системы с помощью фильтра Калмана [4]. Пусть состояние динамической системы является n-мерным случайным процессом, где время может быть как непрерывным, так и дискретным. Непосредственному наблюдению доступен m-мерный случайный процесс, получаемый при помощи некоторой измерительной системы. Задача заключается в получении оценки состояния системы по измерениям.

Таким образом, в зависимости от соотношения времени имеем задачу предсказания, фильтрации или сглаживания. Оценка, доставляющая экстремум некоторому функционалу, называется оптимальной. Существует несколько методов получения оценки. В дискретном случае чаще всего используется теорема Шермана, в соответствии с которой при определенных условиях на допустимую функцию потерь и условную функцию (или плотность, если она существует) распределения оптимальной оценкой является условное математическое ожидание.

Преобразование условного математического ожидания, равно как и решение уравнения, является в общем случае нетривиальной задачей. Заслугой Калмана [5] является то, что он указал класс динамических систем и измерений, для которого существует рекуррентный алгоритм фильтрации. Стандартная дискретная модель Калмана состоит в следующем. Вектор состояния динамической системы удовлетворяет линейному уравнению в конечных разностях первого порядка, а матрицы являются соответствен­но ковариационными матрицами ошибки одношагового предсказания и фильтрации. Заметим, что уравнения фильтрации могут быть получены как преобразованием условного математического ожидания, так и путем определения матрицы.

Фильтр Калмана следует из метода наименьших квадратов, т.е. фильтр Калмана есть не что иное, как рекуррентный алгоритм оценки наименьших квадратов, если уравнение состояния и измерения определяются соответствующими соотношениями. Алгоритм оптимальной фильтрации для непрерывных систем был построен Калманом и Бьюси.

Здесь аналогично дискретному случаю, имеется неизвестный вектор состояния размерности n и известный вектор измерения размерности m. В системе также определены непрерывные матрицы и их гауссовы белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и известными интенсивностями соответственно. Случайные процессы попарно независимы.

Функция доставляет минимум среднеквадратичному функционалу. Следует отметить, что система является стохастическим дифференциальным уравнением и более корректно представлять его в виде стохастического дифференциала.

Для получения оценки Калман и Бьюси использовали метод проекций в гильбертовом пространстве. Тот же результат получается, если применить вариационные методы оптимизации функционала или предельный переход от дискретного фильтра к непрерывному.

Таким образом, получаем следующие результаты:

- неизвестная матрица удовлетворяет уравнению Винера – Хопфа;

- оптимальная оценка удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению;

- матрица передачи фильтра определяется соотношением ковариационной матрицы и ошибки оценки, удовлетворяющей матричному дифференциальному уравнению Риккати.

Список литературы:

1. Makshanov, & Musaev. (2014). Diachronic analysis of nonstationary random processes. SPIIRAS Proceedings, 1(1), 360. doi:10.15622/sp.1.26
2. Makshanov, & Sherstuk. (2014). Automatic devices with stack memory application for evaluation combinations tasks. SPIIRAS Proceedings, 1(1), 282. doi:10.15622/sp.1.20
3. Ermolaev, V., Kozlovskiy, S., & Makshanov, A. (2009). IGIS Capabilities Application to Controlling Polystatic Detection Systems Ensuring Security of Marine Economic Activity. Information Fusion and Geographic Information Systems, 265–276. doi:10.1007/978-3-642-00304-2_18
4. Makshanov, A., Zhuravlev, A., & Tyndykar, L. (2020). Elaboration of Multichannel Data Fusion Algorithms at Marine Monitoring Systems. Advances in Intelligent Systems and Computing, 909–923. doi:10.1007/978-3-030-37919-3_90
5. Mamunts, D. G., Marley, V. E., Kulakov, L. S., Pastushok, E. M., & Makshanov, A. V. (2018). The use of authentication technology blockchain platform for the marine industry. 2018 IEEE Conference of Russian Young Researchers in Electrical and Electronic Engineering (EIConRus). doi:10.1109/eiconrus.2018.8317032