НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» В 7 КЛАССЕ

SOME FEATURES OF TEACHING THE TOPIC “LINEAR EQUATIONS WITH ONE VARIABLE” IN THE 7TH GRADE

Ключевые слова: линейные уравнения, математическая модель, алгебра, текстовые задачи, уравнения первого порядка, переменная.

Keywords: linear equations, mathematical model, algebra, word problems, first‑order equations, variable.

Изучение темы «Линейные уравнения с одной переменной» является одной из важных тем в курсе алгебры 7 класса. При рассмотрении, обучающиеся впервые сталкиваются с такими понятиями как: переменная, уравнения, корни. На базе изучаемого предмета формируются первые представления о системах линейных уравнений, задачах с помощью уравнений, линейных функциях.

Однако, у многих обучающихся возникают трудности. Они часто воспринимают решение уравнений как набор устоявшихся действий: перенос слагаемых в другую сторону, не понимая, для чего нужен он нужен, раскрытие скобок. Особое внимание уделяется при решении задач с помощью уравнений. Для понимания как решить некую задачу, им нужно выделить неизвестное, выразить через неизвестное другие величины, составить уравнение и прийти к правильному ответу. Обучающиеся сталкиваются с алгоритмом, который дается без объяснений, что также приводит к ошибкам в дальнейшем.

Связь линейных уравнений также тесна с линейными функциями. Они помогают перейти от формального решения линейных уравнений к графическому представлению, что объясняет взаимосвязь алгебраических и функциональных понятий.

Целью статьи является выявление некоторых особенностей изучения линейных уравнений с одной переменной в 7 классе, определение приемов обучения.

Объектом исследования является процесс обучения в 7 классе. Предметом исследования являются некоторые особенности изучения темы «Линейные уравнения с одной переменной».

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида:

где - некоторые числа(параметры), - переменная, называют линейным уравнением с одной переменной. Уравнение является линейным, потому что представляет прямую на графике.

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

При решении уравнении используются следующие свойства:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получим уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Уравнение вида:

1. Если , то уравнение имеет единственный корень, равный

2. Если , то линейное уравнение будет иметь вид: . Тогда возможны два случая: и

В первом случае уравнение будет иметь вид: . Тогда, если и , то уравнение будет иметь бесконечно много корней.

Во втором случае уравнение будет иметь вид: . Если и , то уравнение корней не имеет.

Рассмотрение данных случаев имеет место для полного представления о линейных уравнениях с одной переменной. Например:

Данное уравнение имеет единственный корень , так как .

Уравнение имеет бесконечно много корней, а уравнение вовсе корней не имеет.

Этапы формирования умения решения линейных уравнений

Формирования умения решать линейные уравнения с одной переменной должно происходить постепенно, объясняя каждый шаг. Особенно важно, чтобы обучающиеся могли контролировать процесс, учились не только запоминать, но и понимать каждое действие. Изучение темы можно разделить на этапы:

1. Актуализация знаний. На первом этапе учитель предлагает вспомнить материал, который приведет к изучению линейных уравнений. Благодаря раннее изученным темам, обучающиеся вспоминают понятия равенства, свойств арифметического действия, упрощения выражений. Целью данного этапа является подготовить обучающихся к работе с переменными. Можно предложить следующие задания на актуализацию знаний:

1. Раскройте скобки

2. Упростите выражение

1. Найдите значение выражения

2. Введение основных понятий. На данном этапе обучающиеся знакомятся с новыми понятиями, такими как: переменная, уравнение, корень, равенство. Важно объяснять каждое понятие, при этом подкреплять его примерами.

Переменная - это буква (символ), которая обозначает величину, способную принимать разные числовые значения.

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Например:

x является переменной в уравнении, корнем уравнения является 8, при подстановке мы получим верное равенство.

3. Решение простейших уравнений. На третьем этапе обучающиеся решают уравнения вида:

При решении данных уравнений у обучающихся должна сформироваться привычка выполнять проверку, так они смогут не только прослеживать свои ошибки, но и сформируют понятие «корень уравнения».

4. Изучение равносильных преобразований. На этапе обучающиеся знакомятся с преобразованиями, которые помогают перейти об сложного уравнения к простому.

Например:

К обеим частям уравнения прибавляется число 5:

Здесь важно объяснить, что перенос слагаемого в правую часть с изменением знака на противоположный является сокращенной(упрощенной) записью прибавлением числа 5 к обеим частям уравнения.

Можно рассмотреть более сложный пример:

На данном этапе важно, чтобы обучающиеся проговаривали каждый шаг.

5. Изучение линейных уравнений. После того, как обучающиеся освоили основные приемы решения уравнений, можно перейти к особым случаям, таким как:

Если , то уравнение имеет единственный корень.

Например:

Если , то линейное уравнение будет иметь вид: . Тогда возможны два случая: и

В первом случае если и , то уравнение будет иметь бесконечно много корней.

Во втором случае уравнение будет иметь вид: . Если и , то уравнение корней не имеет

Например:

6. Обобщение. На последнем этапе обучающиеся решают уравнения разной сложности, лучше начинать с простых, а потом повышать уровень. Обучающиеся также должны проводить проверку своих знаний.

После усвоения уравнений первого порядка следует перейти к решению задач. Они позволяют показать практическую значимость линейных уравнений. У обучающихся должны сформироваться умения в составлении уравнений на основе условий, нахождении неизвестного, научиться связывать неизвестные с искомыми величинами.

Работу с тестовой задачей можно разделить на несколько этапов:

1. Выделение данных, нахождение неизвестного через x и связь с другими величинами.

2. Составление уравнения.

3. Решение уравнения.

4. Проверка найденного корня.

5. Формирование ответа задачи.

Рассмотрим задачу 1:

Велосипедист проехал 65 км за 5 часов. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшуюся часть – со скоростью 15 км/ч. Сколько времени велосипедист ехал с каждой скоростью?

Данную задачу лучше представить в виде таблицы:

Составим уравнение:

Ответ: Велосипедист ехал со скоростью 10 км/ ч 2 часа, а со скоростью 15 км/ч 3 часа.

Рассмотрим задачу 2:

В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 392 билета?

Решение: пусть в первой кассе продали билетов, тогда во второй кассе продали

Составим уравнение:

Ответ: в первой кассе было продано 178 билетов, а во второй 214 билетов.

Данные примеры показывают, что обучающиеся учатся не только решать уравнения, но и выполнять содержательную часть. Важно обращать внимание обучающихся на некоторые нюансы, например на то, что время или скорость не могут быть отрицательными, количество вещей не может быть дробным числом.

Текстовые задачи могут быть любыми. Они могут быть связаны с движением, расчетом времени, покупками (задачи на проценты) и другие.

Для улучшения понимания, обучающимся можно предложить разные приемы решения задач. Например, одну и ту же задачу можно решить двумя способами: по действиям (арифметический способ), с помощью уравнения (алгебраический способ). Таким образом учащиеся поймут, что задачи можно решать не только с помощью неизвестных и уравнений.

Решим 1 задачу арифметическим способом:

Велосипедист проехал 65 км за 5 часов. Часть пути он ехал со скоростью 10 км/ч, а оставшуюся часть – со скоростью 15 км/ч. Сколько времени велосипедист ехал с каждой скоростью?

Решение:

1. (км)-путь, который велосипедист проехал бы за 5 часов, если бы все время ехал со скоростью 10 км/ч

2. (км)- на сколько больше он проехал

3. (км/ч)- на сколько скорость на второй части пути больше скорости на первой

4. (ч)- сколько он ехал со скоростью 15 км/ч

5. (ч)- сколько он ехал со скоростью 10 км/ч

Ответ: Велосипедист ехал со скоростью 10 км/ ч 2 часа, а со скоростью 15 км/ч 3 часа.

Как можно заметить, решение арифметическим способом более длинное, но приводит к тому же ответу. Таким образом, можно показать обучающимся оба способа и подвести к тому, что при решении более сложных задач лучше воспользоваться алгебраическим способом. Для улучшения понимания можно также предложить составить собственную задачу по уже заготовленному уравнению.

Тема «Линейные уравнения с одной переменной» является важной и определяющей в курсе алгебры 7 класса, понимание ее ведет к усвоение следующих разделов алгебры. Она формирует первые представления о переменной, корне уравнения, равносильных преобразований. В процессе изучения возникают трудности при переносе слагаемых, раскрытии скобок, нахождении неизвестного, поэтому важно не только объяснять алгоритм, но и закреплять его на каждом шаге. Были приведены приемы, которые способствуют усвоению навыков.

Список литературы

1. Бродский Я.С. Задачи на движение. Пособие для дополнительного изучения математики обучающимися 7⁠–⁠8 классов / Я.С. Бродский, А.Л. Павлов. – Донецк. – 2023. – 69 с.
2. Васильева О.В. Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной».
3. Макарычев Ю.Н. Математика. Алгебра: 7-й класс: базовый уровень: учебник / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; под ред. С.А. Теляковского. – 16-е изд., стер. 255, [1] с.: ил.(электр. изд.). С. 27⁠–⁠33. – Москва: Просвещение, 2024.
4. Мерзляк А.Г. Алгебра, 7 класс / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – 2022. – 275 с.
5. Парканова, С.И. Линейные уравнения / С.И. Парканова, С.Н. Ревтова, Т.М. Котлярова. – Текст: непосредственный // Школьная педагогика. – 2016. – № 2 (5). – С. 19⁠–⁠22. – URL: https://moluch.ru/th/2/archive/27/615.