ПРИМЕНЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДЛЯ РАСЧЁТА ЦЕНТРОВ МАСС И МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ДЕТАЛЕЙ

​APPLICATION OF DEFINITE INTEGRALS FOR CALCULATING THE CENTERS OF MASS AND MOMENTS OF INERTIA OF PARTS

Kozyakov Ilya Igorevich

Student, Faculty of Technical and Economics, Livensky Branch of the I. N. St. Turgenev Oryol State University,

Russia, Livny

Brusova Vera Ivanovna

Scientific Supervisor, Cand. Tech. Sci., Assoc., Livensky Branch of the I. N. St. Turgenev Oryol State University,

Russia, Livny

АННОТАЦИЯ

В работе исследовано применение определённых интегралов при расчёте массо-геометрических характеристик деталей сложной формы в задачах машиностроения. На примере ступенчатого вала из стали проведён аналитический расчёт координат центра масс и осевого момента инерции методом разбиения тела на цилиндрические участки с последующим интегрированием по формуле Ньютона–Лейбница. Определены точные значения центра масс (z_c ≈ 90 мм от базы) и момента инерции (J_z ≈ 0.000692 кг·м²), а также оценена центробежная сила при заданной угловой скорости. Проведена верификация результатов путём сравнения с табличными данными, погрешность составила менее 1%. Полученные результаты могут быть непосредственно использованы при проектировании вращающихся узлов, балансировке валов, подборе электроприводов и оценке динамической устойчивости элементов машин.

ABSTRACT

The paper investigates the application of definite integrals in calculating the mass-geometric characteristics of complex-shaped parts in mechanical engineering problems. Using a stepped steel shaft as an example, an analytical calculation of the center of mass coordinates and the axial moment of inertia was carried out by dividing the body into cylindrical sections with subsequent integration using the Newton–Leibniz formula. The exact values of the center of mass (z_c ≈ 90 mm from the base) and the moment of inertia (J_z ≈ 0.000692 kg·m²) are determined, and the centrifugal force at a given angular velocity is estimated. The results were verified by comparison with tabular data, the error was less than 1%. The obtained results can be directly used in the design of rotating units, shaft balancing, selection of electric drives, and assessment of the dynamic stability of machine elements.

Ключевые слова: определённый интеграл, центр масс, момент инерции, ступенчатый вал, статический момент, динамика вращения, балансировка, машиностроение, формула Ньютона–Лейбница.

Keywords: definite integral, center of mass, moment of inertia, stepped shaft, static moment, rotation dynamics, balancing, mechanical engineering, Newton–Leibniz formula.

Определённый интеграл — раздел математики, изучающий методы суммирования бесконечно малых величин и позволяющий вычислять площади, объёмы, длины дуг, а также решать прикладные задачи физики и техники. Определённый интеграл необходим тогда, когда требуется дать количественную оценку суммарной характеристике непрерывно распределённой величины. В машиностроении эти расчёты критически важны для обеспечения динамической уравновешенности вращающихся деталей.

Таблица 1.

В механике и технике определённый интеграл применяется для расчёта

где ρ(x) — плотность в точке x, интегрируем по длине; x — расстояние до оси; F(x) — сила, меняющаяся вдоль пути.

Центр масс сплошного тела — точка, радиус-вектор которой определяется формулой:

В координатной форме для однородного тела (ρ = const):

Для тела вращения с осью симметрии Oz центр масс лежит на этой оси, x_c = 0, y_c = 0. Координата z_c вычисляется по формуле:

Момент инерции относительно оси Oz характеризует инертность тела (J) при вращении:

Рассмотрим решение задач

Задача №1. Ступенчатый вал из стали (ρ = 7800 кг/м³) состоит из двух цилиндрических участков: R = 0.02 м, L = 0.1 м и  R = 0.03 м, L = 0.05 м. Найти координату центра масс z_c, если начало координат совпадает с торцом первого участка.

Решение. Так как вал симметричен относительно оси Oz, то x_c = 0, y_c = 0.

Найдём z_c по формуле:

Интеграл разбит на два слагаемых — по одному для каждого участка вала. Вычислим числитель: Применяем формулу Ньютона-Лейбница — подставляем пределы в первообразную, находим ,  .

Знаменатель (объём):

Делим статический момент на объём — получаем координату центра масс:

Ответ: z_c ≈ 90 мм.

Задача №2. Для вала из задачи №1 вычислить момент инерции относительно оси вращения Oz.

Решение: Используем формулу для ступенчатого тела вращения, суммируя моменты инерции каждого участка вала:

Подставляя значения R₁, R_2, получаем

Таблица 2.

Проверка через табличную формулу

Погрешность:

 < 1% — метод работает корректно.

Ответ:

Задача №3. Оценить центробежную силу, возникающую при вращении вала с угловой скоростью ω = 100 рад/с, если центр масс смещён относительно оси на e = 0.1 мм.

Решение: Центробежная сила вычисляется по формуле:

Сила растёт пропорционально квадрату скорости.

Ответ: F ≈ 2.1 Н — сила, вызывающая вибрацию и износ подшипников.

В заключение хочется отметить, что инженер часто применяет интегральное исчисление в повседневной работе для расчёта параметров деталей, контроля динамической уравновешенности механизмов и предотвращения вибраций. Зная методы интегрального исчисления, можно точно рассчитывать параметры деталей сложной формы и проектировать более надёжные механизмы.

Список литературы:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. — М.: Высшая школа, 1985. — 520 с.
2. Бунтова Е.В. Математика: учебное пособие. — Самара: РИЦ СГСХА, 2012. — 459 с.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — М.: Наука, 1985. — 528 с.
4. Методические указания к выполнению расчётно-графической работы по высшей математике. — Ливны: ЛФ ОГУ, 2020. — 24 с.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 2. — М.: Наука, 1985. — 544 с.
6. Полежаев В.Д., Панченко Е.И., Галимова Л.А. Определенный интеграл и его приложение. — Омск: Издательство ОмГТУ, 2005.