ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА МАССЫ И ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ДЕТАЛЕЙ

​INTEGRAL METHODS FOR CALCULATING THE MASS AND CENTER OF GRAVITY OF PARTS

Gresev Ilya Vladimirovich

Student, Faculty of Technical and Economics, Livny branch of the Oryol State University named after I.S. Turgenev,

Russia, Livny

Brusova Vera Ivanovna

Scientific Supervisor, Cand. Tech. Sci., Assoc., Livny branch of the Oryol State University named after I.S. Turgenev,

Russia, Livny

АННОТАЦИЯ

В работе исследовано применение интегрального исчисления и численных методов при определении массы и центра тяжести деталей сложной формы в современных инженерных задачах. На примере 3D-модели металлического вала проведён расчёт методом численного интегрирования по триангулированной поверхности с разбиением тела на элементарные тетраэдры. Определены точный объём, масса и координаты центра масс детали, а также проанализирована зависимость вычислительной погрешности от плотности триангуляции модели. Полученные результаты могут быть непосредственно использованы при расчётах динамики вращения, балансировки и прочности элементов машин.

ABSTRACT

The paper investigates the application of integral calculus and numerical methods in determining the mass and center of gravity of complex-shaped parts in engineering problems. Using a 3D model of a metal shaft as an example, the calculation was carried out by numerical integration over the triangulated surface of the model with partitioning into elementary tetrahedrons. The volume, mass, and coordinates of the center of mass of the part are determined, and the dependence of the computational error on the model triangulation density is analyzed. The results obtained can be directly used in calculating the rotation dynamics, balancing, and strength of machine elements.

Ключевые слова: интегральное исчисление, тройной интеграл, масса детали, центр тяжести, статические моменты, численные методы, триангуляция поверхности, металлический вал.

Keywords: integral calculus, triple integral, part mass, center of gravity, static moments, numerical methods, surface triangulation, metal shaft.

Современное машиностроение требует высокой точности инженерных расчётов, особенно при определении массы и центра тяжести деталей. Эти параметры напрямую влияют на устойчивость, балансировку и надёжность работы механизмов. Для деталей сложной формы применение стандартных геометрических формул оказывается недостаточным, что обуславливает использование методов интегрального исчисления и законов механики [2; 7; 8, с. 24]. Актуальность работы заключается в необходимости применения точных математических методов для расчёта характеристик деталей сложной геометрии в современных инженерных задачах. Целью работы является исследование применения интегрального исчисления при определении массы и центра тяжести деталей сложной формы.

Масса тела в общем случае определяется с помощью тройного интеграла:

где ρ — плотность материала;

V — объём тела. Для однородных тел расчёт упрощается и масса определяется как произведение плотности на объём [8, с. 37].

Для определения центра тяжести используются статические моменты:

Для определения массы и координат центра тяжести в работе используются положения интегрального исчисления. Объём детали определяется с использованием тройного интеграла [2, с. 84]:

Координаты центра масс определяются через статические моменты:

При расчёте деталей сложной формы применяется метод разбиения на элементарные геометрические тела либо численные методы интегрирования [1, с. 112; 6, с. 15; 10, с. 311]. Наиболее эффективным является использование трёхмерных моделей и триангуляции поверхности [1, с. 112; 10, с. 311].

Рисунок 1. 3D-модель металлического вала насоса

В практической части работы выполнен расчёт параметров металлического вала на основе его 3D-модели. Материал детали — сталь 10 с плотностью 7850 кг/м³. Расчёт проводился методом численного интегрирования по триангулированной поверхности модели [3, с. 45]. Суть метода заключается в разбиении тела на элементарные тетраэдры, образованные треугольниками поверхности и началом координат. Каждый треугольник формирует тетраэдр с началом координат, объём которого определяется по формуле [3, с. 45]:

,

где n₀, n₁, n₂ — радиус-векторы вершин треугольника.

Суммарный объём тела вычисляется как сумма объёмов всех элементарных тетраэдров [3, с. 48]:

Масса детали определяется по формуле:

m = ρV = 7850 ⋅ 9,549926 × 10⁻³ = 74,97 ≈ 75 кг.

Рисунок 2. Положение центра масс относительно оси вращения вала

Координаты центра масс находятся как [10, с. 312]:

Аналогично определяются координаты y₀ и z₀.

В результате расчётов получены значения, которые представлены ниже в таблице:

Таблица 1.

Расчётные геометрические и массовые параметры вала

Анализ результатов показал, что центр масс расположен практически на оси вращения, что свидетельствует о симметричности конструкции детали и корректности выполненных расчётов. Погрешность метода зависит от плотности триангуляции модели [1, с. 115; 5, с. 317; 9, с. 617]. При использовании 63 000 треугольников она составляет около 0,5–1 % по объёму и не более 0,05 мм по координатам центра масс.

Таким образом, применение интегрального исчисления и численных методов позволяет с высокой точностью определять массу и центр тяжести деталей сложной формы. Это делает данные методы важным инструментом в инженерной практике и проектировании. Полученные результаты могут быть использованы при расчётах динамики вращения, балансировки и прочности деталей машин.

Список литературы:

1. Аверин В.Н. Компьютерная инженерная графика. — М.: Издательский центр «Академия», 2013. — 224 с. (возвращена фамилия автора)
2. Авраменко А.А. Теоретическая механика. — Самара: Издательство Самарского университета, 2019.
3. Алпатов Ю.Н. Математическое моделирование производственных процессов. — СПб.: Лань, 2018. — 136 с.
4. Лапин И.А., Ратафьева Л.С., Танченко А.П. и др. Интегральное исчисление функции одной переменной. — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2009. — 124 с.
5. Левин В.А., Зингерман К.М., Вершинин А.В. и др. Топологическая оптимизация элементов конструкций с учетом структурной неоднородности материала с использованием градиентного метода // Чебышевский сборник. — 2022. — №4. — С. 308–326.
6. Никитина С.Ю., Ширяев А.Г., Фроловский M.Ю. Моделирование технологических процессов. — Рязань: Современный технический университет, 2021. — 64 с.
7. Пермякова В.В. Теоретическая механика. — М.: ИД Академии Жуковского, 2021. — 48 с.
8. Полежаев В.Д., Панченко Е.И., Галимова Л.А. Определенный интеграл и его приложение. — Омск: Издательство ОмГТУ, 2005.
9. Рипецкий А.В., Пелих Е.А., Брыкин В.А. и др. Топологическая оптимизация деталей с использованием неявного представления геометрической модели // Онтология проектирования. — 2025. — №4. — С. 614–628.
10. Романычева Э.Т., Яцюк О.Г. Учебно-методический комплекс «инженерная и компьютерная графика» на базе электронных средств обучения // GraphiCon'2001. — Nizhny Novgorod, 2001. — С. 311–312.