КАК ВОЗМОЖНА ЧИСТАЯ МАТЕМАТИКА В ФИЛОСОФИИ КАНТА

Кант в течение своей карьеры являлся также и учителем математики. Его размышления о математике и математической практике оказали глубокое влияние на его философскую мысль. Он развивал рассмотренные философские представления о статусе математических суждений, о характере математических определений, об аксиомах, доказательствах, и отношения между чистой математикой и миром вещей. Его подход к общему вопросу, “Как возможны априорные синтетические суждения?” был сформирован его концепцией математики и ее достижений как обоснованной науки.

Философия математики Канта представляет интерес для множества ученых по многократным причинам. Во-первых, его мысли о математике - решающий и центральный компонент его критической философской системы, и таким образом, они являются основой для разъяснения заинтересованным людям, которые работают  над изучением любого аспекта философии Канта. Кроме того, проблемы, поставленные Кантом в его исследованиях, касающиеся самых фундаментальных и элементарных математических дисциплин, остаются среди важных проблем в метафизике и эпистемологии математики по сей день. Наконец, разногласия о том, как интерпретировать философию Канта математики, породили глубокую область исследований и споров.

В 1763 Кант участвовал в конкурсе эссе, проводимом Берлинской Академией по применению математических доказательств к метафизике. В своем эссе, обратился к вопросу о том, могут ли математические истины быть доказаны с такой же степенью уверенности как принципы метафизики и морали. Хотя его эссе заняло второе место, проиграв Моисею Мендельсону с работой “На Доказательствах в Метафизических Науках”, эссе Канта не осталось незамеченным. Оно было издано Академией в 1764 под заголовком “Запрос Относительно Отчетливости Принципов Естественного Богословия и Морали” (часто называемый Эссе Приза) и стоит как ключевой текст в предкритической философии математики Канта.

В Эссе Приза Кант делает попытку сравнить методы математики и метафизики. Дело математики – это дело объединения и сравнения данного понятие величин, которые являются четкими и бесспорными, в целях установления, что может быть выведено от них. Он утверждал, что это может быть достигнуто через экспертизу чисел или “видимых знаков”, которые обеспечивают конкретные представления универсальных понятий, искусственно определенных. Например, каждый определяет математическое понятие трапеции, произвольной комбинацией других понятий (“четыре прямых линии, ограничивающие поверхность плоскости так, чтобы две противоположные стороны не были параллельны друг другу), сопровождаемых “разумным знаком”, который показывает отношения среди частей всех объектов. Определения, а также фундаментальные математические суждения, например, что у пространства может только быть три измерения, должны быть исследованы в реальности так, чтобы они стали интуитивными знаниями, но такие суждения никогда не могут доказываться, так как они не выведены из других суждений.

Кант приходит к заключению, что математический метод не может быть применен, чтобы достигнуть философские (и, в частности, метафизические) результаты, по основной причине, что “геометры приобретают свои понятия посредством синтеза, тогда как философы приобретают свои понятия посредством анализа. Все же на этой предварительной критической стадии, он также приходит к заключению, что, даже испытывая недостаток в синтетических определениях основных понятий, метафизика так же способна к несомненным фактам, которые необходимы, чтобы производить убеждения, как математика. Позже, в критическом периоде, Кант расширил понятие синтеза, чтобы описать не только происхождение и комбинацию математических понятий, но также и акт объединения разнообразных представлений. Он также, будет использовать термины “синтетический” и “аналитический”, чтобы отличить два взаимоисключающих пути, которыми предмет и понятия предиката касаются друг друга в отличных суждениях, и он подчеркнул расширенный смысл этого различия, которое охватывает методологический контраст между двумя способами аргументации, одного синтетического продукта или прогрессивного и другого аналитического или регрессивного.

В дальнейших эссе мысли Канта о математике и ее результатах начинают развиваться в направлении его критической философии. В этих эссе он приписывает достижения математического рассуждения к возможности доступа к принципам чувственной формы и основных данных интуиции, которая приводит к законам интуитивного познания и интуитивных суждений. Во “Вступительной Диссертации” он сделал попытку  установить, что пространственным отношениям предвещает определенная чистая интуиция и, что геометрия использует принципы, которые не только несомненны, но и которые также попадают под пристальный взгляд ума.

Кант задает два связанных наводящих вопроса в своей критической философии: «Как возможны априорные синтетические суждения?» и «Как  возможна метафизика как наука?». Математика помогает ответить на эти вопросы, возможность математики ясна и гарантируема ее собственным достижением познания. Другими словами, объяснение того, как синтетические априорные суждения подтверждены в математических контекстах, вместе с получающимся и связанным объяснением того, как систематическое тело доказуемого знания включает такие суждения, позволяет математической истине быть названной как парадигма необходимых и универсальных истин, которых метафизика надеется достигнуть. Теория Канта о создании математических понятий может только быть осознана если обратиться к более широким вопросам о самой природе и возможности математического и метафизического знания.

Кант вводит различия суждений, называя одни аналитическими и другие синтетическими. В каждом тексте он следует за своим представлением этого различия, что все математические суждения – синтетический априорный продукт. Он утверждает, во-первых, что “правильные математические суждения всегда - априорные суждения” на том основании, что они необходимы, и не могут быть получены из опыта. Пробует объяснить, как такие неэмпирические суждения могут все же быть синтетическим продуктом, то есть, как они могут служить, чтобы синтезировать предмет и понятие предиката, а не просто объяснять или проанализировать подчиненное понятие в его учредительные логические части. Он использует суждение “7 + 5 = 12” и утверждает, что, неважно, сколько бы времени он не анализировал данное понятие возможной суммы, он не найдет в нем двенадцать, и также утверждает, что нужно отойти от этих понятий, ища помощь в интуиции, и номер двенадцать возникнет. Истина арифметического суждения такого как “7 + 5 = 12” не может быть установлена никаким методом логического или концептуального анализа, но может быть установлена интуитивным синтезом. Он рассуждает об арифметике и ее истинности соответствуя требованиям Евклидовой геометрии, согласно которым принципы геометрии выражают синтетические отношения между понятиями, ни один из которых не может быть аналитически извлечен из другого. Принципы геометрии таким образом выражают отношения среди основных геометрических понятий, поскольку они могут быть показаны в интуиции.

В другом месте Кант также включает геометрические теоремы как вид суждений, в дополнение к геометрическим принципам. Но синтетическая природа таких теорем не очевидна. Так, в то время как  все математические суждения, включая геометрические теоремы, являются синтетическим продуктом, менее очевидно, что это относится к таким суждениям или выводам, которые поддерживают их, чтобы согласоваться с принципом противоречия, дифференцируемости. Это приводит к интерпретирующему разногласию, следуют ли доказуемые математические суждения из синтетических принципов через строго логический или концептуальный вывод — и так в строгом соответствии с только принципом противоречия — или выведены ли они через выводы, которые самостоятельно уверены в интуиции, но которые не нарушают закон противоречия.

Он развертывает различие аналитических и синтетических суждений, чтобы определить две отличных спорных стратегии ответа на вопрос “возможности чистой математики”. Аналитический метод характеризуется рассуждением, которое движется по познанию, такому как математика, к ее происхождению или источникам в уме. В отличие от этого, синтетический метод стремится получать реальное познание непосредственно из познавательных источников, такие источники объяснены независимо от какого-то конкретного органа познания. Кант строит свой метод, основываясь на противопоставлении синтетической и априорной природы математического суждения к заявлению, что пространство и время - формы человеческой чувственности; утверждает, что формы человеческой чувственности пространство и время обеспечивают основание, из которого можно получить синтетический продукт и априорные математические суждения. Методы, которые приводят к синтетическим и априорным суждениям о науке о математике, основаны и объяснены самой природой человеческой чувственности, и, в частности, пространственно-временной формой всех объектов человеческого опыта.

Список литературы:

1. Кант И. Критика чистого разума/Пер. с нем. Н. Лосского с вариантами пер. на рус. и европ. яз.; Отв. ред., сост. и авт. вступит. ст. В. А. Жучков; Рос. АН. Ин-т философии. М.: Наука , 1998. – 656 с.