МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ НАВЕДЕНИЯ

Наведение – одна из основных задач системы управления летательного аппарата (ЛА). Основной задачей системы самонаведения (СН) считают обеспечение попадания ракеты в цель или перехват цели с минимальным промахом [1]. Для расчета программной траектории в систему управления ракеты должно быть заложено некоторое правило, по которому система СН осуществит наведение ракеты. Это правило и называется методом наведения. Метод наведения – заданный закон сближения ракеты с целью, который, в зависимости от координат и параметров движения цели, определяет требуемое движения ракеты, обеспечивающее ее попадание в цель. Реализация методов СН сводится к построению программного движения ЛА с различными законами формирования программы по углу наклона траектории θ. Система СН должна обеспечивать наименьшую кривизну кинематической траектории на всех участках полета, встречу ракеты с целью во всем заданном диапазоне параметров движения цели, а также обеспечивать требуемую точность сближения ракеты и цели в различных условиях.

Для возможности изменять метод СН без полного изменения системы уравнения, можно воспользоваться связью

где   – навигационная постоянная. При  = 1 реализуется метод погони с постоянным углом упреждения, при  – метод пропорционального сближения, при  – метод параллельного сближения. На рис. 1 представлена схема сближения ракеты с целью, где θ – угол наклона траектории, φ – угол упреждения, ε – угол пеленга.

Рисунок 1. Схема сближения

Метод погони может быть успешно применен только для наведения ракеты на неподвижную цель (например, в управляемых бомбах и самолетах-снарядах) или на цель, скорость которой во много раз меньше скорости ракеты, так как наведение осуществляется в задней полусфере цели. Для пропорционального метода наведения необходима пропорциональность  и  (навигационная постоянная подбирается эмпирическим путем, для решения данной задачи принимаем ). Прямолинейное движение ракеты выгодно как с точки зрения достижения максимальной дальности полета, так и для экономного расходования топлива.

Системы уравнений изменения траектории ЛА и цели имеет вид:

ЛА и цель примем за материальные точки. Уравнения связи имеют вид:

В данной статье будут представлены результаты моделирования метода погони и метода пропорционального сближения. До времени t₁ ЛА летит в свободном режиме, далее включается метод СН. Начальные значения представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Начальные значения

Для моделирования можно использовать любую программную среду. В данной статье используется Qt – кроссплатформенный фреймворк для разработки программного обеспечения на языке программирования С++ [2].

Результаты реализации метода погони представлены на рисунке 2.

Рисунок 2. Метод погони (СН с постоянным углом упреждения)

Как видно из первого графика, отображающего изменение угла упреждения, с четвертой секунды угол φ_ц становится постоянным. Второй и третий график показывают зависимости дальности и высоты полета от времени. Четвертый график показывает траекторию движения ракеты и цели (зависимость координаты x от у). По последнему графику видно, что цель движется вертикально вниз.

Расчет данных заканчивается в момент встречи ракеты с целью. По графикам видно, что это произойдет в момент времени t=5,65 cек.

Результаты реализации метода погони представлены на рисунке 3.

Рисунок 3. Метод пропорционального сближения

Из первого графика видно, что с четвертой секунды угол φ_ц начинает линейно (пропорционально) уменьшаться. По графикам видно, что столкновение ракеты с целью произойдет в момент времени t=5,4 cек. Учитывая одинаковые начальные условия, разница во времени с первым методом СН является существенной. Траектория движения ракеты во втором случае не содержит крутых разворотов, что говорит об отсутствии перегрузок и, соответственно, экономном расходе топлива. Следует заключить, что метод пропорционального сближения является более эффективным по сравнению с методом погони.

Рассмотренная математическая модель отображает геометрический смысл систем СН в виду упрощений. В дальнейшем системы уравнений усложняются, представляя ЛА не как материальные точки, а как нежесткие тела с переменной массой, так же учитывается влияние ветров, осадков, изменение давления, силы притяжения и других параметров, которые зависят от высоты, а так же неточности системы управления, погрешности датчиков и т.д.

Список литературы:

1. Самонаведение ракет [Электронный ресурс] URL: http://samonavedenie-raket.ru/metody-navedeniya/ (Дата обращения 20.01.2017)
2. Qt [Электронный ресурс] URL: https://www.qt.io/ (Дата обращения 17.01.2017)
3. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных летательных аппаратов. – Москва: Машиностроение, 1973. — 616 с.
4. ГОСТ 20058-80. Динамика летательных аппаратов в атмосфере. Термины, определения, обозначения. -М.: Издательство стандартов, 1981. – 52 с.
5. Санников В.А., Юрескул А.Г. Основные принципы расчета траектории летательных аппаратов. СПб., 2008. – 118 с.