Статья опубликована в рамках: XXX Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» (Россия, г. Новосибирск, 05 октября 2017 г.)

Наука: Физика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Костюшкина И.В. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ // Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ: сб. ст. по мат. XXX междунар. студ. науч.-практ. конф. № 19(30). URL: https://sibac.info/archive/meghdis/19(30).pdf (дата обращения: 20.10.2019)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 1 голос
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

Костюшкина Ирина Владимировна

студент 4 курса, направления фундаментальная информатика и информационные технологии, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет; МГУ им. Н.П. Огарева

РФ, г.Саранск

Научный руководитель Егерева Эльвира Николаевна

доц., канд. физ.-мат. наук, кафедра прикладной математики, дифференциальных уравнений и теоретической механики, Национальный исследовательский Мордовский государственный университет; МГУ им. Н.П. Огарева

РФ, г.Саранск

АННОТАЦИЯ

Исследовано влияние диссипативных факторов: вязкости и  межфазного трения в линейных и нелинейных моделях волнового движения жидкости. Определены в аналитическом виде дисперсионные соотношения для волн на поверхности  слабовязкой и сильновязкой жидкости. Исследовано влияние вязкости на траектории движения жидких частиц.

Ключевые слова:волны, , вязкая жидкость, , декремент затухания , малый амплитудный .

 

слой вязкой жидкости бесконечной . Свободная поверхность граничит со пренебрежимо малой , характеризующейся постоянным давлением. Декартова координат   таким образом, что  совпадает с невозмущённой жидкости, а ось  противоположно вектору свободного падения  g. жидкости происходит в со скоростью,,. Звездочкой, там, где это , обозначены   размерные величины.

в положительном направлении оси   волна. Длина много ее высоты (>>).

В области, жидкостью, выполняются неразрывности и движения [1]:

div

 +((1)

Здесь– давление,

 – плотность, p– , µ – коэффициент динамической .

На свободной поверхности  кинематическое и условия [2]

+                                   (2)

  =0;  () +

где

 , .

Здесь – поверхностного натяжения, K – поверхности, n – вектор к свободной .

При бесконечном заглублении жидкости должна , то есть выполнено

(3)

 Система (1) и граничных условий (2), (3) изолированный и составляет краевую задачу для характеристики движения.

Введем безразмерные переменные и :  = εu,  = ερ p, = εξ/k, ν0 = µk/, t = kc, x = k, z = k, α =/= ω/,  = g/k. гдеи — соответственно скорость и волны линейной для идеальной жидкости, c и ω — скорость и частота , ε = kξ∗max — малый параметр, k = 2π/λ — число.

В безразмерных задача (1)-(3) вид

divu=0, -

v-=ξu ,  z=εξ

p--2=-+)

+)(1-) =-4  ,                                                        (4)

 

t    → 0,        z → −∞.

В малости волнового ε граничные условия на поверхности z = εξ разложением в ряд входящих в них сводятся к условиям на поверхности z = 0. Решение находим в виде по параметру ε:

 

u=, =(, p=(5)

 

эти ряды в уравнения (5) и в окрестности нуля условия и приравнивая при одинаковых ε, получим задачи в двух приближения.

В приближении задача вид: при ε0

div, -                                                         (6)

,   - - =0,     +=0,  z=0                        

u1 → 0, z → −∞.

для второго : при ε1

div,  -

+      

 =4-+),   z=0

u2 → 0, z → −∞.

Решение линейной (6) имеет вид

Aezsin(xt)+(aV1+bV)cos()+(aV2  - bV1)sin(xt)],    (7)

v1 = Aeαβt{ezsin(xt) + V1 cos(xt) + V2 sin(xt)},

p1=Acos+ sin,  cos+  sin),

 cos-  sin)] , cos-  sin)],

 

,, β — безразмерный затухания (βω0 — ), A — амплитудный параметр, 

s=2-.

  a и b связаны соотношениями:

a = b − 1 + β/, 2ab = α/

волны декремент затухания следующим образом:     = 1 +  −4±s.

Для затухания  получено :

Аналитическое данного уравнения не  приводится здесь из-за громоздкости.

Подставив (7) в задачу (6), систему линейных уравнений и граничные для определения неизвестных u2,   2,  2, , 2,  решение имеет вид

u2=([ D2+1/2[a1 V3 + b1 V4+ aV5(b+1) V6]}cos(2x-2t)+{ D1+1/2[a1

V4 - b1 V3+ aV6-(b+1) V5]}sin(2x-2t)

v2=([ D1+ V3+ V5) cos(2x-2t)+ D2+ V4+ V6) sin(2x-2t)],

p2={[( D1+ D2)+ V7]cos(2x-2t)+[( D2+ D1)+ V8] sin(2x-2t)-

A V2+A B2+A2[(2v0-/()-]/2+()(1-/2}

D2+ B4+ K2- Q2)-D1+ B3+ K1- Q1)]D2+ B4+ K2- Q2)+ D1+ B3+ K1- Q1),

где

V3 (z) = eb1z (B3 cosa1z B4 sina1z),V4 (z) = eb1z (B4 cosa1z + B3 sina1z),

V5 (z) = e(b+1)z(K1 cosazK2 sinaz),V6 (z) = e(b+1)z (K2 cosaz+ K1 sinaz),

V7 (z) = e(b+1)z(G1 cosazG2 sinaz), V8 (z) = e(b+1)z (G2 cosaz+ G1 sinaz), a21 = b21 − 4 + 2β/ν0, a1b1 =α/ν0,

K1 = {[(b + 1)R1 + aR2]C1 − [aR1 − (b + 1)R2]C2}/∆1, 1 = ( + )/2,

K2 = {[aR1 − (b + 1)R2]C1 + [(b + 1)R1 + aR2]C2}/∆1,

G1 = {[αa + β (b − 1)]K1 − [α(1 − b) + βa]K2 + 2R2}/4,

G1 = {[α(1 − b) + βa]K1 + [αa + β (b − 1)]K2 + 2R1}/4,

  C1 = [4aν02 α(β + 2ν0) ]/(2ν0), C1 = [8bν02 α02 + β02 − 4ν0s]/(4ν0),

R­­­1 = A[(2b ν0 − s)B­1 + (α − 2a ν0)B2]/(2 ν0),

R2 = A[(α − 2a ν0)B1 − (2b ν0 − s)B2]/(2 ν0),

               B3 = ν0 [s1 (L2 − 4D1) + α(L1 − 4D2)]/∆2, ∆2 = s21 + α2,

         B4 = ν0 [s1 (L1 − 4D2) − α(L2 − 4D1)]/∆2, s1 = 4 ν0β,

L1= A2 {a[ 4 ν02  (α2 – s2)/∆3 − s – K1 ]+ αb[1 – K2 + 8 ν0s/∆3] − 3α+

               +[(β − 6 ν0)K2αK1]/(2 ν0)}/∆3,         ∆3 = s2 + α2,

L2 = A1 {b[ 4 ν02  (α2 − s2)/∆3 − s – K1 ]+ αa[1 – K2 + 8 ν0s/∆­­­3] +3s+

+[(β − 6ν0)K1 + αK2]/(2ν0)}/∆3,

     D1 = (F1 J1 + F2J2)/∆4, D2 =(F1J2F2J1)/∆4, 4 = J12 + J12,

J1 = [8 ν02 (αa1 + s1 b1) – s1 /∆2]− s1 , J2 = [8 ν02  (αb1 – s1 a1) − α/∆2] + α,

F1 = A2 [2 ν0(α − s)/∆3 + 1][2 ν0 (α + s)/∆3 − 1]/2+I1 K1 + I2 K2 – G1 + H1 L1+

                                                      +H2 L2 + (βQ1 – αQ2)/(2∆2),        ∆5 = (α2+ β 2),

F2 = 2αν0A2(1 − 2sν0/∆3)/∆3 + I2K1 I1K2 + G2 H2L1 + H1L2+

+(βQ2 + αQ1)/(2∆5),

                         I1 = 2bν0 + (4ν0 β/∆5)/2,  I2 = −2aν0 + α/(2∆5),

                                                                                                                      

                      H1 = [2α ν02 b1 − 2s1 ν02 a1 + α ν02 s 5]/∆3,

H2 = [2αν02a1 + 2s1ν02b1 + (βs1 α2)/∆5]/∆3.

Получена система дисперсионных уравнений для линейных волн на слое вязкой жидкости конечной глубины. Численно установлено, что конечность слоя изменяет частоту и декремент затухания, если глубина меньше длины волны. Если глубина больше, чем длина волны, то частота и декремент затухания мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя.   

Записано дисперсионное уравнение, с помощью которого определены выражения  для фазовой скорости и декремента затухания волны в случае бесконечно глубокого слоя жидкости.

Таким образом, найдено решение нелинейной задачи  распространения поверхностных  волн в  слое вязкой жидкости бесконечной глубины с точностью до членов второго порядка по малому амплитудному параметру.

 

Список литературы:

  1. Абрашкин А. А. волны на поверхности жидкости// Известия РАН. МЖГ. - №6. - С. 8986.
  2. Ю. 3. Волны на поверхности бассейна // Труды мат. об-ва. Саранск. - -Том 7, № 1. - С.
  3. Баринов  В. А. Волны на поверхности двухфазной / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // механика и . физика -2002. Т. 43. - № 4. - С.
  4. Баринов, В. А. Поверхностные на слое вязкой ограниченной / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Тюменского государственного . 2007. - №5. - С. 118-122.
  5. Л.Н. Теория движений жидкости. М.: , 1977.-816 с.
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 1 голос
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий