НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

АННОТАЦИЯ

Исследовано влияние диссипативных факторов: вязкости и  межфазного трения в линейных и нелинейных моделях волнового движения жидкости. Определены в аналитическом виде дисперсионные соотношения для волн на поверхности  слабовязкой и сильновязкой жидкости. Исследовано влияние вязкости на траектории движения жидких частиц.

Ключевые слова:волны, , вязкая жидкость, , декремент затухания , малый амплитудный .

слой вязкой жидкости бесконечной . Свободная поверхность граничит со пренебрежимо малой , характеризующейся постоянным давлением. Декартова координат   таким образом, что  совпадает с невозмущённой жидкости, а ось  противоположно вектору свободного падения  g. жидкости происходит в со скоростью,,. Звездочкой, там, где это , обозначены   размерные величины.

в положительном направлении оси   волна. Длина много ее высоты (>>).

В области, жидкостью, выполняются неразрывности и движения [1]:

div

 +((1)

Здесь– давление,

 – плотность, p– , µ – коэффициент динамической .

На свободной поверхности  кинематическое и условия [2]

+                                   (2)

  =0;  () +

где

 , .

Здесь – поверхностного натяжения, K – поверхности, n – вектор к свободной .

При бесконечном заглублении жидкости должна , то есть выполнено

(3)

 Система (1) и граничных условий (2), (3) изолированный и составляет краевую задачу для характеристики движения.

Введем безразмерные переменные и :  = εu,  = ερ p, = εξ/k, ν0 = µk/, t = kc, x = k, z = k, α =/= ω/,  = g/k. гдеи — соответственно скорость и волны линейной для идеальной жидкости, c и ω — скорость и частота , ε = kξ∗max — малый параметр, k = 2π/λ — число.

В безразмерных задача (1)-(3) вид

divu=0, -

v-=ξu ,  z=εξ

p--2=-+)

+)(1-) =-4  ,                                                        (4)

t    → 0,        z → −∞.

В малости волнового ε граничные условия на поверхности z = εξ разложением в ряд входящих в них сводятся к условиям на поверхности z = 0. Решение находим в виде по параметру ε:

u=, =(, p=,  (5)

эти ряды в уравнения (5) и в окрестности нуля условия и приравнивая при одинаковых ε, получим задачи в двух приближения.

В приближении задача вид: при ε⁰

div, -                                                         (6)

,   - - =0,     +=0,  z=0                        

u₁ → 0, z → −∞.

для второго : при ε¹

div,  -

+      

 =4-+),   z=0

u₂ → 0, z → −∞.

Решение линейной (6) имеет вид

Ae^zsin(x− t)+(aV_1+bV₂  )cos()+(aV_{2  - b}V₁)sin(x− t)],    (7)

v₁ = Ae⁻ _α^βt{e^zsin(x− t) + V₁ cos(x− t) + V₂ sin(x− t)},

p₁=Acos+ sin,  cos+  sin),

 cos-  sin)] , cos-  sin)],

,, β — безразмерный затухания (βω0 — ), A — амплитудный параметр, 

s=2-.

  a и b связаны соотношениями:

a = b − 1 + β/, 2ab = α/

волны декремент затухания следующим образом:     = 1 +  −4±s.

Для затухания  получено :

Аналитическое данного уравнения не  приводится здесь из-за громоздкости.

Подставив (7) в задачу (6), систему линейных уравнений и граничные для определения неизвестных u_{2,   2,  2,} , _2,  решение имеет вид

u₂⁼([ D₂+1/2[a₁ V₃ + b₁ V₄+ aV₅(b+1) V₆]}cos(2x-2t)+{ D₁+1/2[a₁

V₄ - b₁ V₃+ aV₆-(b+1) V₅]}sin(2x-2t)

v₂⁼([ D₁+ V₃+ V₅) cos(2x-2t)+ D₂+ V₄+ V₆) sin(2x-2t)],

p₂={[( D₁+ D₂)+ V₇]cos(2x-2t)+[( D₂+ D₁)+ V₈] sin(2x-2t)-

A V₂+A B₂+A²[(2v₀-/()-]/2+()(1-/2}

D₂+ B₄+ K₂- Q₂)-D₁+ B₃+ K₁- Q₁)]D₂+ B₄+ K₂- Q₂)+ D₁+ B₃+ K₁- Q₁),

где

V₃ (z) = e^b1z (B₃ cosa₁z − B₄ sina₁z),V₄ (z) = e^b1z (B₄ cosa₁z + B₃ sina₁z),

V₅ (z) = e^(b+1)z(K₁ cosaz− K₂ sinaz),V₆ (z) = e^(b+1)z (K₂ cosaz+ K₁ sinaz),

V₇ (z) = e^(b+1)z(G₁ cosaz− G₂ sinaz), V₈ (z) = e^(b+1)z (G₂ cosaz+ G₁ sinaz), a²₁ = b²₁ − 4 + 2β/ν₀, a₁b₁ =α/ν₀,

K₁ = {[(b + 1)R₁ + aR₂]C₁ − [aR₁ − (b + 1)R₂]C₂}/∆₁, ∆₁ = ( + )/2,

K₂ = {[aR₁ − (b + 1)R₂]C₁ + [(b + 1)R₁ + aR₂]C₂}/∆₁,

G₁ = {[αa + β (b − 1)]K₁ − [α(1 − b) + βa]K₂ + 2R₂}/4,

G₁ = {[α(1 − b) + βa]K₁ + [αa + β (b − 1)]K₂ + 2R₁}/4,

  C₁ = [4aν₀² − α(β + 2ν₀) ]/(2ν₀), C₁ = [8bν₀² − α₀² + β₀² − 4ν₀s]/(4ν₀),

R­­­₁ = A[(2b ν₀ − s)B­₁ + (α − 2a ν₀)B₂]/(2 ν₀),

R₂ = A[(α − 2a ν₀)B₁ − (2b ν₀ − s)B₂]/(2 ν₀),

               B₃ = ν₀ [s₁ (L₂ − 4D₁) + α(L₁ − 4D₂)]/∆₂, ∆₂ = s₂₁ + α₂,

         B4 = ν₀ [s₁ (L₁ − 4D₂) − α(L₂ − 4D₁)]/∆₂, s₁ = 4 ν₀ − β,

L₁= A₂ {a[ 4 ν₀²  (α₂ – s₂)/∆₃ − s – K₁ ]+ αb[1 – K₂ + 8 ν₀s/∆₃] − 3α+

               +[(β − 6 ν₀)K₂ – αK₁]/(2 ν₀)}/∆3,         ∆3 = s₂ + α₂,

L₂ = A₁ {b[ 4 ν₀²  (α2 − s2)/∆3 − s – K₁ ]+ αa[1 – K₂ + 8 ν₀s/∆­­­₃] +3s+

+[(β − 6ν₀)K₁ + αK₂]/(2ν₀)}/∆₃,

     D₁ = (F₁ J₁ + F₂ J₂)/∆₄, D₂ =(F₁ J₂ – F₂ J₁)/∆₄, ∆₄ = J₁₂ + J₁₂,

J₁ = [8 ν₀² (αa₁ + s₁ b₁) – s₁ /∆₂]− s₁ , J₂ = [8 ν₀²  (αb₁ – s₁ a₁) − α/∆₂] + α,

F₁ = A₂ [2 ν₀(α − s)/∆₃ + 1][2 ν₀ (α + s)/∆₃ − 1]/2+I₁ K₁ + I₂ K₂ – G₁ + H₁ L₁+

                                                      +H₂ L₂ + (βQ₁ – αQ₂)/(2∆₂),        ∆₅ = (α²+ β ²),

F₂ = 2αν₀A²(1 − 2sν₀/∆₃)/∆₃ + I₂K₁ − I₁K₂ + G₂ − H₂L₁ + H₁L₂+

+(βQ₂ + αQ₁)/(2∆₅),

                         I₁ = 2bν₀ + (4ν₀ − β/∆₅)/2,  I₂ = −2aν₀ + α/(2∆₅),

                      H₁ = [2α ν₀² b1 − 2s1 ν₀² a1 + α ν₀² s ∆₅]/∆₃,

H₂ = [2αν₀²a₁ + 2s₁ν₀²b₁ + (βs₁ − α²)/∆₅]/∆₃.

Получена система дисперсионных уравнений для линейных волн на слое вязкой жидкости конечной глубины. Численно установлено, что конечность слоя изменяет частоту и декремент затухания, если глубина меньше длины волны. Если глубина больше, чем длина волны, то частота и декремент затухания мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя.   

Записано дисперсионное уравнение, с помощью которого определены выражения  для фазовой скорости и декремента затухания волны в случае бесконечно глубокого слоя жидкости.

Таким образом, найдено решение нелинейной задачи  распространения поверхностных  волн в  слое вязкой жидкости бесконечной глубины с точностью до членов второго порядка по малому амплитудному параметру.

Список литературы:

1. Абрашкин А. А. волны на поверхности жидкости// Известия РАН. МЖГ. - №6. - С. 8986.
2. Ю. 3. Волны на поверхности бассейна // Труды мат. об-ва. Саранск. - -Том 7, № 1. - С.
3. Баринов  В. А. Волны на поверхности двухфазной / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // механика и . физика -2002. Т. 43. - № 4. - С.
4. Баринов, В. А. Поверхностные на слое вязкой ограниченной / В. А. Баринов, Н. Н. Бутакова // Тюменского государственного . 2007. - №5. - С. 118-122.
5. Л.Н. Теория движений жидкости. М.: , 1977.-816 с.