АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ВЫХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК МОДЕЛЕЙ ТМО К ВИДУ ИСХОДНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

В различных задачах нефтегазовых отраслей возникают проблемы, связанные с простоями оборудования, задержками работ, образованием очередей и т.п., которые решаются методами теории массового обслуживания (ТМО). ТМО изучает функционирование систем в условиях массового поступления требований и наличия случайных факторов. При этом одной из основных прикладных проблем является анализ чувствительности выходных характеристик систем к виду исходных распределений.

Одним из первых результатов на эту тему является статья Б.А. Севастьянова [1], который доказал нечувствительность формул Эрланга к виду распределений длительного обслуживания. В ряде расчетов [2] была исследована асимптотическая (при быстром восстановлении) нечувствительность характеристик восстанавливаемых систем надежности к виду распределений длительности безотказной работы и восстановления их элементов.

Одним из методов исследования сложных систем, в том числе, и систем массового обслуживания (СМО) является метод имитационного статистического моделирования, когда модель (как следует из названия вида моделирования) имитирует работу реальной системы, т.е. модель воспроизводит процесс функционирования реальной системы во времени. Рассмотрим две задачи, решаемые методом имитационного моделирования, на примерах моделей, содержащих одну или две альтернативные очереди. Основной задачей каждой из моделей является имитация процесса функционирования каждого отдельного элемента с обязательным сохранением логики и правил взаимодействия и развития составляющих систему элементов, как во времени, так и в пространстве (в том числе последовательность и параллелизм их во времени).

В первой задаче модель состоит из нескольких приборов и одного потока требований. Частным случаем данной модели является процесс функционирования автомобильной заправочной станции(АЗС). Рассмотрим АЗС с несколькими бензоколонками и ограниченным числом мест для ожидания (площадкой перед станцией). К АЗС в случайные моменты времени подъезжают автомашины и, при наличии свободной бензоколонки, занимают её. В противном случае автомашины становятся в очередь, если есть места, или покидают АЗС. Длительность заправки является случайной величиной. Время поступления автомашин также случайно. Возникают задачи изучения загруженности АЗС, образования очередей и ожидания автомашин, а также определения процента автомашин, покинувших АЗС. Алгоритм работы АЗС может быть представлен в виде блок-схемы (рисунок 1).

Рисунок 1. Блок-схема работы АЗС

Для построения имитационной модели работы АЗС была написана программа в математическом пакете «Maple 17», позволяющая быстро вычислять вероятности пребывания АЗС в каждом из состояний (общее количество автомашин, включая очередь) и вероятности покидания АЗС автомашинами для исходных данных, представленных в Таблице 1.

Таблица 1.

Исходные данные вычислительного эксперимента

В качестве распределений потока поступления требований и времени обслуживания были рассмотрены экспоненциальное, распределение Вейбулла-Гнеденко, и гамма распределения с одинаковым математическим ожиданием, а также их различные комбинации.

Для проверки точности работы данной имитационной модели полученные результаты сравниваются с аналитическими вычислениями, произведенными по формулам для смешенной системы , где - марковский процесс, -число обслуживающих приборов, - число мест для ожидания (рисунок 2).

Рисунок 2. Смешанная система

Расчеты, полученные в результате работы представлены в Таблице 2.

Таблица 2.

Результаты расчетов вычислительного эксперимента задачи 1

В другой задаче модель состоит из двух независимых очередей. Одним из случаев данной модели является процесс обслуживания наливных танкеров посредством бензовозов, которая является частным случаем модели такси-пассажиры [3]. К стоянке танкеров в случайные моменты времени подъезжают автомашины и приходят танкеры, нуждающиеся в обслуживании. При наличии свободного бензовоза и танкера производится обслуживание. В противном случае образуется очередь из автомашин или танкеров. Задача состоит в исследовании поведения этих очередей и длительности ожидания бензовоза и танкера соответственно. Также, как и в случае модели с одной очередью, процесс функционирования системы может быть представлен в качестве блок-схемы (рисунок 3).

Рисунок 3. блок-схема алгоритма моделирования

Имитационное моделирование осуществлялось в математическом пакете «Maple 17». Реализованная программа позволяет вычислять стационарные вероятности нахождения в каждом из состояний, совместные стационарные вероятности, изучать длину соответствующих очередей, вычислять среднее время пребывания в каждом из состояний, а также общее количество как потерянных, так и обслуженных устройств.

В приведенных исследованиях используется ряд ограничений, которые не всегда встречаются в реальных задачах:

• Если очередь из танкеров становится длиннее чем 12 цистерн, следующий танкер не ждет и покидает очередь
• Если очередь из бензовозов становится длиннее чем 6 автомашин, следующий бензовоз не ждет и покидает очередь
• Один бензовоз обслуживает только один танкер, то есть танкер не может обслуживаться группой бензовозов
• Временной период, за который рассматривается задача, 1440 суток.

В качестве распределений потока поступления требований были рассмотрены различные комбинации экспоненциального, гамма и гауссовского распределений с одинаковыми средними значениями.

Для проверки адекватности работы модели полученные результаты сравниваются с численным решением системы уравнений баланса. Численное решение системы показало, что возможно появление каждого из исследуемых состояний с равной вероятностью равной

Результаты проделанной работы представлены в Таблицах 3-5.

Таблица 3.

 Результаты расчета вычислительного эксперимента для задачи 2

Таблица 4.

Результаты расчета вычислительного эксперимента для задачи 2

Таблица 5.

 Результаты расчета вычислительного эксперимента для задачи 2

Таким образом, результаты проделанной работы показали наличие некоторой чувствительности к виду исходных распределений. Однако в данной работе не исследуются асимптотические вопросы чувствительности, что может быть изучено дальнейшими исследованиями.

Список литературы:

1. Севастьянов Б.А Предельная теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами. Теория вероятности и ее приложение 1, стр. 106-116,1957
2. Гнеденко Д.Б., Соловьев А.Д. Оценка надежности сложных восстанавливаемых систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика, 1975. №3 стр. 121-128
3. Рыков В.В., Козырев Д.В. Основы теории массового обслуживания, стр. 12-14,2016