ТРИ КРИЗИСА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

Предпосылки на превращение математики в теоретическую науку возникли в Древней Греции. Особую роль здесь сыграл пифагорейский союз, который математическое знание считал основой истинного знания.

Появление математики как систематической науки оказало огромное влияние на философское мышление того времени, философия в определенном смысле зависела от математики. Это можно объяснить тем, что наиболее рациональные мыслители еще не выходили за рамки мифологического и антропоморфного описания природы.  Именно в этот период в математике стали видеть не просто полезное практическое свойство. Древние греки решают задачи, не связанные с практикой, проверяя этим просто математические возможности, создают систему связанных внутренне идей и методов. Появился вывод одних формул из других.

Математика мистифицировалась и идеализировалась. Первооснову мира находили именно в числе, старались именно этим объяснить происходящее. Все, воспринимаемое чувственно, рассматривалось лишь как подражание числам. Любое убеждение в истинности сводилось к числовой гармонии.

Первый кризис пришелся на эпоху античности, примерно 5 в. До н.э. Речь пойдет о несоизмеримости отрезков, это нанесло весомый удар на философию пифагоризма.  Две величины или длины считаются соизмеримыми, если обладают общей мерой, то есть величиной или длиной, которая укладывается на них целое число раз.  Все отрезки считались соизмеримыми, но вдруг обнаружилось, что некоторые длины несоизмеримы. Это подорвало теорию пифагорейцев о гармонии между арифметикой и геометрией, которая считалась само собой разумеющейся. К примеру, катет и гипотенуза треугольника, сторона и диагональ квадрата, длина и диаметр окружности.

Если взять соотношение катета и гипотенузы треугольника, то мы заметим, что нельзя вычислить одно, посредством другого, то есть взяв за единицу измерения одно из предложенного. Сколько бы мы не пытались, мы не поместим катет в гипотенузу целое число раз, всегда будет образовываться остаток. И даже взяв за единицу измерения данный остаток, мы не сможем этого сделать. Остаток будет оставаться всегда, и так до бесконечности.

И так, решая эту проблему, наряду с целыми и дробными числами, мы получаем новые. А именно иррациональные, как противоположность известным до этого, рациональным числам. Но так как греки признавали только целые числа, это значительно затормозило развитие арифметики и математики.

Только лишь в позднем средневековье началось творческое возрождение математики, до этого математика не выходила за рамки пифагоризма. Новые идеи в математике возникали в связи с потребностями человечества и служили науке.

Математика стала рассматриваться как вторичное знание, зависящее, а не врожденное. Именно такое мышление и привело к интегральному и дифференциальному исчислению. От математики требовалась строгость, выведение одних положений из других.

Математики 17 в. Решали многочисленные задачи частными методами. Сюда относятся нахождение максимумов и минимумов функции, нахождение площадей криволинейных фигур и т.д. Г. В. Лейбниц и И. Ньютон предложили общий метод решения этих задач. Но хоть этот метод и приводил к правильным решениям, существовала неясность основных понятий. 

Следующий кризис случился по причине вычисления бесконечно малых величин, стремящихся к нулю, но никогда их не достигающему. Математики спорили друг с другом, одни считали их не отличными от нуля и отбрасывали при вычислениях, другие все же считали их иными числами, хоть и очень маленькими. Этот неразрешенный вопрос в свое время поставил под вопрос научность математики.

В интегральном и дифференциальном исчислении существовали и другие изъяны. Дифференциал изначально приравнивали к приращению функции, и это приводила к парадоксу. Разделение между этими двумя понятиями было проведено Лагранжем.

Отсутствовало общее понимание того, что мы называем функцией. Только после введение разрывов функции заставил обратить внимание на оформление понятий анализа и отбросить альтернативу его элементарного обоснования.

Не существовало четкого определения предела. Предел строго не определяли, а просто содержательно описывали, основываясь на механических и геометрических примерах, иногда привлекая понятия, которые не касались такого понятия, как время, например. Помимо этого, предел понимали узко, так как функция также понималась узко.

Такое понятие как непрерывность функции мыслилось чисто интуитивно. Математики того времени считали все функции непрерывными и не пытались их разделять таким образом.

Выход был найден не скоро, только вначале 19 в. Огюстом Коши. Этот кризис основания так же принес в математику новые числа. Коши обозначил бесконечно малые как величины, существующие в их исчезновении, представляя, по существу, бесконечно умаляющееся. 

И вот мы подошли к кризису, который представляет для меня больший интерес. Созрев в конце 19в., он по сей день волнует математику, логику и философию. Этот кризис поставил под вопрос точность и безупречность основных математических понятий. Речь идет о статусе математических понятий, возможности существования объектов и истинность заключений о них. Для того, чтобы вывести математику из кризиса, сложились три школы: логицизм, интуиционизм, формализм.

Анализ программ, занимающихся философским обоснованием математики, показывает, что не одна из этих попыток не пришла к удовлетворяющему решению. Но каждое из этих направлений делало свои открытия, привносило в математику что-то важное, продвигало ее понимание.

Логицизму мы обязаны разработкой и практическими применениями, эффективно действующего не только для математики аппарата символической логики, для вспомогательного анализа содержания математики. Значимой оказалась разработка теории типов. Стало возможным проводить четкую стратификацию области по уровням понятий, которые используются, в анализе области знаний. Это позволило сделать математические понятия более точными, определить их отношения, систематически изложить логические процедуры.

Интуиционистская и конструктивистская программа открыли новые возможности построения математических объектов, открыв тем самым новые сферы математического мышления. Утверждался генетический способ задания теории, который заключался в том, что объекты принимаются нами как порождаемые, конструируемые нами из исходных объектов. Неоценимое значение оказала разработка теории доказательств и понятия алгоритма. Конструктивистские методы уточнили способы построения объектов, эти методы не противоречат аксиоматическим. Интуиционисты развили дискретную математику, так как она опирается на дискретные операции, которые в свою очередь разрабатывались на почве идей конструктивного построения объектов.

Формализм развил новую область математического метода – метаматематику. Если в ходе аксиоматического построения вводились исходные объекты, лишенные конкретного содержания, о таких объектах можно было формулировать содержательные высказывания. Абстрактная иллюзия системы, что символы не несут семантической нагрузки. Структуру можно описать на содержательном языке. Мы можем фиксировать простоту, симметричность формул, строить предложения о конфигурации знаков. Высказывания о ненаполненных смыслом объектах формализованной математики принадлежат метаматематике. Математика обосновывается как наука о системных символах, их порядке и соединении в формулах. Благодаря этому стали различать обычный язык и метаязык.

Список литературы:

1. Сухотин А. К. Философия математики: учебное пособие / А. К. Сухотин; Под ред. В. А. Суровцева. – Томск: Из-во Том. Ун-та, 2004. - 230с.
2. Целищев В. В. Философия математики / В. В. Целищев. – Новосибирск. : Наука, 2002. - 212с.