ИНТУИЦИОНИЗМ КАК РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Интуиционизм возник в самом начале ХХ века как противник логицизму. Интуиционисты считают, что нельзя сводить математику к логике, язык которой несовершенен. Математическим мыслям рождаются без слов, даже математический язык не в силах адекватно выразить смысл. Математика не сводится к языку и ее нельзя растолковывать как особого рода язык. Интуиционисты придерживаются тезиса, что не математика – часть логики, а именно логика – часть математики.

Интуиционизм от других направлений отличается тем, что своей целью он ставит не доказательство истинных теорем, а поиск интуитивно-убедительных и наглядно-содержательных конструкций, которые соединяли бы в себе построение с его обоснованием. Построение является единственным достоверным способом обоснования.

Математическое построение должно иметь конец, но фактически мы можем выполнить далеко не любое математическое построение, для выполнения некоторых нужно выполнить бесконечное количество шагов. Но математика проводит операции с конструкциями подобного типа. Можно предположить, что мы работаем не с самой бесконечностью, а используем ее абстрактность, т.е. если бы мы осуществляли такую операцию фактически, она бы затянулась на неопределенное количество времени.

Так мы можем допустить актуальную бесконечность. Актуальная бесконечность существует, как и любой другой объект, если мы может его мыслить без противоречий. Актуальная бесконечность  – означает осуществленная бесконечность, заданная всеми своими элементами. Примером такой бесконечности является натуральный числовой ряд.

С другой стороны бесконечность может образовываться потенциально. Если мы имеем набор конструктивных средств для построения объектов математики, то мы можем также допустить, что эти объекты не только потенциальные, но, и построены фактически. Для осуществления этой операции не обходимо пройти четыре шага: 1)Ввести математическую бесконечность как возможность, наряду с бесконечностью данною природой. 2) Нужную нам ситуации воображать как реальную и рассуждать о ней используя методы логики. 3) Полагать бесконечность, сконструированную нами, независимой от конструктивных операций. 4) Принять эту бесконечную совокупность объектов, существующих одновременно, как не связанные с конструктивными операциями и даже со своим происхождением.

Интуиция не могла принять существование актуальной бесконечности. Если бесконечность задана всеми элементами, то это уже не является бесконечностью. Бесконечное множество не может быть закончено, а его предлагают завершить, то есть уничтожить, но  одновременно и сохранить как бесконечное. Тут возникает существенное противоречие. Натуральный ряд чисел мы можем мыслить только как продолженный неограниченно.

Непонятно было также то, что из теории следовало, что вследствие бесконечных множеств аксиома «часть меньше целого» теряла свою силу. Ведь если элементу любого класса можно сопоставить только один элемент другого класса, то это будет означать только одно, что они равномощны. Например, множество натуральных чисел становится эквивалентно множеству квадратам натуральных чисел, получается равно целому.

Вышеперечисленные моменты ставил  под сомнения методы Кантора, а вместе с тем и концепцию логицизма.

Хоть и может показаться на первый взгляд, что интуиционисты строили свои рассуждения о возникновении числового ряда  на механическом повторе восприятия, на самом деле, они пытались уйти от автоматизма, который характерен для любых логических построений и для программы логицизма.

Эта программа существенно меняла подход к обоснованиям математики. Для логицизма существовал любой математический объект, если он не приводил к противоречию. А для интуиционистов объект существовал, если был задан определенный алгоритм его построения.

Существует также концепция «откровенной точки зрения». Это ультраинтуиционистское течение, которое отвергает не только существование актуальной бесконечности, но и потенциальной, признавая, что существуют только конечные множества. Квантор общности и понятие всеобщности подвергаются сомнению, они принимаются только в том случае, если указан способ их получения.

Закон исключенного третьего, который действует в конечных множествах, утрачивает свою силу в потенциальной бесконечности. В связи с этим интуиционисты отвергают доказательство от противного.

Первое исчисление интуиционистов было построено в 1930 году Гейтингом. Для самих интуиционистов она не представляла никакого интереса, а вот представители других направлений принялись ее анализировать. Первые результаты показали, что данное исчисление поддается интерпретации в терминах классической логики как исчисление задач. Но, при этом, оставляет такие понятия как «решение» и «задача», как и обычно, неопределенными, конъюнкции соответствует решение двух задач, дизъюнкции хотя бы одна из двух задач, а импликации соответствует сведение одной задачи к решению другой. Это показывает, что интуиционистская логика вполне сходна с классической, также существуют интерпретации, где и классическую логику возможно перевести в интуиционистскую.

Логико-математические идеи интуиционистов являются философской установкой, которые признают односторонне-субъективным происхождение. Первичной реальность здесь выступает восприятие, которое ничего не берет из опыта, постигается только интуитивным путем, объекты получены исключительно внутренним путем, независимо от всего внешнего.

По поводу закона исключенного третьего можно сказать, что изначально, мы не знаем, обладает ли какой-нибудь элемент бесконечного множества определенным свойством или не обладает. Мы можем это узнать, лишь построив данный элемент. Понимание интуиционистами закона исключенного третьего подвергалось острой критике. Это положение ставило под вопрос не только математический принцип, но и основу человеческого мышления.

Субъективные установки интуиционистов игнорировали роль практической деятельности в оценке математических построений. Конечно, не все математические установки проверяются путем проявления в действительности, но с помощью таких дисциплин как, физика, биология, механика, математическая мысль может найти внешнее оправдание и проверку на истинность. Интуиционизм это исключает, он не считает практику критерием определения истинности. Практический критерий оценивания полностью замещается ясностью интуитивных суждений.

Попытки представить математический объект, опираясь на установки интуиционизма, оказались провальными. Интуиционизм не давал ответа на ряд вопросов, среди которых был вопрос о фундаментальном понятии базисной интуиции, с помощью которой вводились математические объекты. Математика могла бы обойтись и без этой интуитивной ясности.

Здесь логицизм, опиравшийся на принцип непротиворечивости, казался куда более правдоподобным, чем интуиционизм, опиравшийся на базисную интуицию. Интуиционисты отличились в критике традиционной математики, их высказывания и доводы временами были сокрушительными. Интуиционизм не решил проблему обоснования математики. Многие его разделы оказались неприемлемыми.

Список литературы:

1. Вейль Г. О философии математики / Г. Вейль; Пер. с нем. А.П. Юшкевича. – М.: ГИТТЛ, 1934. – 128с.
2. Гейтинг А. Интуиционизм: введение / А. Гейтинг; перевод с англ. В.А.Янкова; под ред. и с коммент. А.А. Маркова. – М.: Мир, 1965. – 200с.
3. . Гельмгольц Г. Счет и измерение / Г. фон Гельмгольц; Пер. и предисл. А. Васильева. – Казань: тип. Имп. Ун-та, 1893. – 23с.
4. Сухотин А. К. Философия математики: учебное пособие / А. К. Сухотин; Под ред. В. А. Суровцева. – Томск: Из-во Том. Ун-та, 2004. - 230с.