ПРОГРАММА ЛОГИЦИЗМА КАК РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Логицизм по историческим меркам был первой программой обоснования математики. Эта программа была основана на взглядах Лейбница, который сближал логику и математику. Впервые идею логицизма сформулировал в своих работах Г. Фреге в конце XIX века, далее они были развиты Б. Расселом в начале ХХ века.

В основе логицизма лежит убеждение, что математика является своего рода отраслью логики, ее частью. Основания математических объектов нужно икать на логических основаниях. Логицизм ставит своей задачей сведение математики к логике. Все математические объекты, понятия и операции должны представить в качестве логических. Чтобы это стало возможным, нужно осуществить аксиоматическое построение математики, а именно арифметики.

Для того чтобы свести математику к логике, необходимо последовательно осуществить операции арифметизации, аксиоматизации, интерпретации.

Этап арифметизации был закончен еще до появления программы логицизма. Все началось с попыток свести числа к самому элементарному. Изначально рациональные числа свели к натуральным, затем иррациональные могли представить как множества, состоящие из пар рациональных чисел в определенном порядке.

В аксиоматизации главной задачей становится представить натуральный ряд в минимуме понятий. Здесь следует отметить три основных понятия: «натуральное число», «следование за…», «натуральный член натурального ряда». Эти понятия связываются аксиомами. 1) 1 есть натуральное число; 2) следующие за натуральным числом есть натуральное число; 3) 1 не следует ни за каким натуральным числом; 4) если натуральное число b следует за натуральным числом a и за натуральным числом c , то a и c тождественны; 5) если какое-либо предложение доказано для 1 и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно и для следующего за n натурального числа, то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Первые подобные идеи интерпретации мы можем найти у Декарта и Лейбница. Именно они считали, что из математики можно создать универсальный язык общения. Затем Д. Буль создает алгебраическую логику, а де Морган логику высказываний.

Подобно действует и Фреге, математические доказательства апеллируют к возможности логического выведения, утверждения логики – тавтологии, не несут никакого смысла. Истинность логических суждений зависит не от содержания, а от формы. Логику нужно представить в виде исчисления, формализовать.  А так как математика является частью логики, то из логических аксиом должны выводиться все положения чистой математики, и все математические положения должны описываться посредством понятий логики. Математические понятия оказываются логическими, математические аксиомы доказываются логическими понятиями, существует правило вывода предложений математики из положений логики.

Определяя понятие числа и операций, в основу легла идея о взаимно-однозначном соответствии чисел. Взаимно-однозначное соответствие чисел нужно для того, чтобы установить равенство множеств по количеству элементов, используя только метод сопоставления элементов множеств. Натуральные числа – кардинальные числа понятий. Кардинальные числа обозначают количество, а не порядковый номер. Все понятия, имеющие одинаковое кардинальное число, находятся во взаимно- однозначном соответствии.

Фреге удалось свести все математические понятия к логическим. Программа считалась успешно завершенной. Но Б. Рассел в своем письме, адресованном Фреге замечает, что он некорректно использовал понятия теории множеств. Это впоследствии приобрело название «Парадокс Рассела».

В математике считается, не существует самого мощного множества, то есть самого большого кардинального числа. Насколько большое множество мы бы не взяли, всегда можно взять множество, которое будет больше. В пример можно привести последовательность чисел и множество точек на отрезке прямой. Здесь более мощным множеством будет выступать второе множество. Невозможно построить самое мощное множество. Но с другой стороны, можно себе представить, что существует такое самое мощное множество, которое бы включало в себя все мыслимые множества.

Согласно Канторовской теории множеств, множество – это совокупность предметов, которые мыслятся нами как единое. Потом Кантор ввел понятие «являться элементом множества». Но тут возникает вопрос, ведь само множество тоже является объектом, можно ли считать, что само множество, как и его элементы, принадлежит самому себе. Все классы делятся на те, которые содержат себя в качестве элемента и на те, которые не содержат себя в качестве элемента. Первые считаются ненормальными, их мало по сравнению со вторым типом понятий, которые не содержат себя в качестве своего элемента.

Парадокс можно изложить так: «Введем понятие нормального множества. Будем называть нормальным всякое множество, которое не содержит самого себя в качестве элемента. Большинство привычных для нас множеств будут нормальными: так, например, множество всех чайных ложек само не есть чайная ложка, и сахар в стакане с чаем им размешать не удастся. А вот если мы рассмотрим множество всего, что не является чайной ложкой, то оно уже содержит себя в качестве элемента, т.е. не является нормальным». 

Так куда же нам поместить нормальное множество. В класс, который является элементом самого себя, мы поместить его не можем, оно не входит в свое множество. И в класс, который не содержит себя в качестве своего элемента, мы также поместить не можем, так как это множество нормальное и недолжно находиться вместе со своими собственными элементами. Представим это формально: R – множество нормальных множеств X. Удовлетворяется условие X ¯∈X. значит будет иметь место и эквивалентность X∈ R≡ X ¯∈X. подставив вместо переменной X символ R получим явное противоречие.

Анализ парадоксов заключен в порочный круг. Множество предметов будет способно содержать элемент, который мы может определить только  с помощью самого множества, взяв его за целое.

Ситуация с парадоксом потрясла Фреге, он фактически отказался от своей программы и стал высказываться по этому поводу сдержаннее. А Рассел в своих дальнейших работах, рассматривая программу логицизма подетально, оказался главным теоретиком этой программы. Рассел нашел способ разрешения собственного парадокса и назвал ее «теория типов». Типом он назвал ранг значения пропозициональной функции, или другими словами совокупность аргументов, функция для которых будет иметь значение, может быть ложным, истинным, осмысленным и нормальным высказыванием. Выделились типы: нулевой, первый, второй и т.д. У теории типов есть правило – функция на один ранг должна быть выше своих аргументов. Результат оказался не таким убедительным, как хотелось бы. Переходя от наиболее простых логических аксиом к более сложным математическим утверждениям, пришлось ввести дополнительные аксиомы сводимости, выбора и бесконечности. Чтобы математика сводилась к логике, этими аксиомами пришлось расширить саму логику.

В результате не только Фреге, но и Рассел смягчили свой тезис.

И математика, и логика являются абстрактными. Но математика отвлекается от конкретно-вещественного характера объекта, а логика от смыслового содержания. И математика, и логика являются чистой формой. Логика – форма мысли, а математика - форма пространственно-количественных отношений. Сама математика, ее термины имеют специфическое содержание, которое пока не удалось свести к логике.

Есть несколько причин, помешавших осуществлению программы логицизма. В математике нарушается принцип сохранения степени, который называется идемпотентностью, в логике он действует. В связи с этим логическая операция конъюнкции значительно отличается от математического умножения, подобные проблемы возникают и у дизъюнкции со сложением. В алгебре не выполняется закон дистрибутивности дизъюнкции по отношению к конъюнкции, хотя здесь выполняются остальные законы логики.

Попытка найти логическое основание математическим объектам оказалась провальной. Но все приложенные усилия и открытия, сделанные теми, кто придерживался данной концепции, не прошли даром. Эта огромная проделанная работа положительно отразилась на математических исследованиях.

Список литературы:

1. Рассел, Б. Введение в математическую философию. Избранные работы ― Новосибирск : Сиб. унив. изд-во, 2007. – 262 с.
2. Рассел Б. Философия логического атомизма ― Томск : Водолей, 1999. – 191с.
3. Сухотин А.К. Философия математики. – Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. – 226 с.