ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ В АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

THE USE OF MATHEMATICAL APPARATUS IN ECONOMIC CALCULATIONS IN ACTUARIAL MATHEMATICS

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы взаимодействия экономических и математических дисциплин, рассматривается применение теории вероятностей в актуарной математике, описывается использование теории случайных величин в страховании жизни.

ABSTRACT

The article deals with the interaction of economic and mathematical disciplines, considers the application of probability theory in actuarial mathematics, describes the use of the theory of random variables in life insurance.

Ключевые слова: Основы математического анализа, теория вероятностей,  математическая статистика, основы финансовой математики,  актуарная математика.

Keywords: fundamentals of Mathematical analysis, probability theory, mathematical statistics, fundamentals of financial mathematics, actuarial mathematics.

Изучение экономических дисциплин, невозможно без использования многих разделов математики, таких как матричное исчисление, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов, теория вероятностей, математическая статистика и других. Применение математического языка помогаем экономистам формулировать и проверять гипотезы о разнообразных экономических явлениях, описание которых очень затруднительно без использования строгого математического аппарата. В настоящее время большая часть экономических закономерностей описана с помощью всевозможных математических моделей.

Одним из наиболее интересных разделов математики для экономистов является актуарная математика. В России идет активное развитие страхового рынка и, следовательно, повышается интерес к теоретической основе страхования. В деятельности больших страховых компаний и банков все больше внимания уделяется актуарному анализу. В ходе изучения актуарной математики студенты могут узнать, что за обычными страховыми полисами стоит довольно сложная математическая теория, без которой невозможно обеспечить финансовую устойчивость страховых компаний и пенсионных фондов. Изучение актуарной математики основано на знакомстве обучающихся с основами математического анализа, теории вероятностей и математической статистики, а также финансовой математики.

В данной статье опишем использование случайных величин (СВ) в простейших экономических расчетах. Функция распределения – закон, который описывает поведение всех СВ. Функцией распределения СВ называют функцию .

Функция распределения обладает свойствами:

1. Функция распределения любой случайной величины – неубывающая функция.

2. Функция распределения непрерывна слева.

3. , .

4. .

5. .

Функция распределения однозначно определяет распределение случайной величины.

Рассмотрим продолжительность жизни как СВ. Страхование жизни основано на следующем принципе: убытки, которые понесло одно лицо (в результате страхового случая) распределяются на некоторое большое число людей, участников страхования, с которыми страховой случай не произошел.  При страховании жизни важным фактором риска служит невозможность точно определить момент смерти. Нельзя точно определить момент смерти одного человека. Однако, если рассматривать большую группу людей, не принимая во внимание судьбу каждого отдельно взятого человека, то в данном случае можно применять элементы теории вероятностей, которая позволяет анализировать случайные явления. Будем рассматривать продолжительность жизни как СВ.

В теории вероятностей распределение СВзадается функцией распределения .

В актуарной математике принято работать не с функцией распределения, а с дополнительной функцией распределения . Применительно к продолжительности жизни  – это вероятность того, что человек доживет до возраста  лет.

Функция

называется функцией выживания: .

Функция выживания обладает следующими свойствами:

1.  убывает (при );

2. ;

3. ;

4.  непрерывна.

Для проведения расчетов необходимы статистически обработанные таблицы, в которых отражены данные о смертности населения, и возрастные данные. Такие таблицы называют таблицами продолжительности жизни. В таких таблицах обычно полагают существование некоторого предельного возраста (как правило ) и соответственно  при . Описывая смертность населения аналитическими законами, обычно полагают, что время жизни неограниченно, подбирают вид и параметры законов таким образом, чтобы вероятность того, что человек проживет свыше некоторого возраста, стремилась к нулю.

Рассмотрим смысл функции выживания с точки зрения математической статистики. Допустим, исследуется группа из  новорожденных (как правило ). Известны также продолжительности жизней всех членов группы. Обозначим число живых представителей этой группы в возрасте  через . Тогда

.

Таким образом, функция выживания  равна средней доле доживших до возраста  из некоторой фиксированной группы новорожденных.

В актуарной математике часто работают не с функцией выживания , а с величиной  (зафиксировав начальный размер группы ).

Таким образом, изучение математических дисциплин является неотъемлемой частью экономического образования. Владение математическим аппаратом помогает будущим экономистам анализировать, прогнозировать, корректировать и оптимизировать экономических модели.

Список литературы:

1. Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В. Актуарная математика. Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2010. 180с.
2. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем.М.: МГУ, 1996. – 261с.
3. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994. – 80с.
4. Гербер Х. Математика страхования жизни. М.: Мир, 1995. – 156с.