ИНТЕРДИСЦИПЛИНАРНЫЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ

Современный этап развития науки характеризуется взаимопроникновением наук друг в друга. Междисциплинарные связи являются конкретным выражением интеграционных процессов, происходящих в настоящее время, с помощью которых не только на качественно новом уровне решаются задачи, но также закладывается фундамент для комплексного видения и решения сложных проблем реальной ситуации.

Реальные объекты можно и нужно рассматривать как системы, что является общепринятым в современной методологии моделирования. Данный научный метод получил название «Системный анализ», а важнейшей его характеристикой является как раз междисциплинарный подход к решению сложных проблем. Система знаний, как объединение достижений различных областей, позволяет решать такие проблемы, которые не могут быть разрешены в рамках отдельных дисциплин и частных подходов. Именно поэтому познавание физики, несмотря на то, что данная дисциплина изучается на младших курсах, должно проходить в неразрывной связи с такими дисциплинами как математика, информатика, философия, здесь закладываются основы для системного видения будущего специалиста.

Одним из важнейших методов современной физики является моделирование. Центральным понятием является «модель» - система, заменяющая исследуемый объект (натуру), изучение которой служит средством для получения информации о другой системе, называемой оригиналом. Процессом моделирования называется исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей. В физике используются два основных способа моделирования: математическое и физическое, однако сегодня уверенно называют как отдельный вид компьютерное моделирование, сочетающее два упомянутых, а в физике сегодня уверенно выделяется фундаментальный раздел – вычислительная физика [2].

Под математическим моделированием, в узком смысле слова, понимают описание в виде уравнений и неравенств реальных физических, химических и т.п. процессов. Для того чтобы использовать математические методы для анализа и синтеза различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы на языке математики. В настоящее время использование методов математического моделирования требует эффективного применения компьютерных технологий, что отражает современные тенденции широкого использования компьютерного моделирования в технике.

Развитию у курсантов правильных представлений о роли математического моделирования в научном познании способствует знакомство их с решением и визуализацией ряда физических задач с использованием современных программных продуктов для решения инженерных задач с использованием технологий численного моделирования, однако их применение невозможно без знания алгоритмов и методов их реализации.

В настоящее время в инженерно-технических кругах получили широкое распространение пакеты прикладных программ (ППП), ориентированные на проведения математических расчетов и инженерных вычислений: MatLab, MathCad, Mathematica и др., - что нашло отражение в формировании компетенций при изучении как математики, информатики, так и физики. Такие системы, имея собственную специфику, имеют общие черты, которые позволяют при освоении одной ориентироваться в других подобных. 

Механическая система, с точки зрения системного анализа, в общем случае представляет собой совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой и внешней средой. Основной задачей механики является получение уравнений движения N точек системы, исходя из их масс и действующих на них сил. Разные варианты такой задачи возникают в астрономии, молекулярной динамике, жидкостной динамике, электростатике, где рассматриваются взаимодействующие тела. Реальная задача данного типа характеризуется очень высокой вычислительной NP-сложностью.

Движение системы, состоящей из N взаимодействующих частиц, можно в общем виде описывать следующим образом. Каждая i-я частица  физической системы описывается набором положений и скоростей. Сила F_i(t), действующая на i-ю частицу, равна суперпозиции сил, обусловленной остальными N-1 частицами и внешними силами.

Динамика, согласно второму закону Ньютона, описывается уравнениями движения в векторном виде, в общем виде это шесть уравнений

                                                                                                  (1)

где m_i – масса частицы (i=1,..N). Уравнения движения необходимо дополнить заданием начальных и граничных условий, определяющие внешние силы и объем пространства, в котором движутся частицы.

С точки зрения математики (1) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), решение которой в общем виде известно. Однако, функция , как правило, нелинейная, а при большом N аналитическое решение невозможно. Выбор подходящей схемы решения определяет точность и эффективность решения.

При общем подходе, описанном системой (1), на младших курсах при изучении физики можно рассмотреть простые частные случаи, на основе которых можно понять возможности компьютерного эксперимента.

Задачей при N=1 является одномерное движение точки без взаимодействия с другими телами, такие задачи в различных видах решаются аналитически на практических занятиях. Здесь системой является материальная точка, которая под действием некоторой силы движется вдоль прямой (оси). Однако если считать, что движение происходит в вязкой среде, а масса частицы и действующая на нее сила, являются функциями времени, то задача становится достаточно сложной.

Рассмотрим модель свободного падения тела, на которое действуют две внешние силы – сила тяжести и сила сопротивления среды:

F_т=mg, F_сопр = k₁v + k₂v²,

где g – ускорение свободного падения, k₁ и k₂ – коэффициенты, определяющие среду сопротивления

Рассматриваемое движение, как указано выше, является одномерным. В проекции система (1) будет выглядеть как система ОДУ:

                                                                                                 (2)

Без учета сопротивления (2) – это учебная задача, имеющая точное аналитическое решение, такой предельный случай стоит использовать для тестирования алгоритма. В зависимости от характера движения в конкретных задачах одной из составляющих силы сопротивления можно пренебречь.

Входными параметрами модели являются начальная высота тела, начальная скорость тела, величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды.

Моделирование проводилось в пакете MatLAB [1]. Для решения систем ОДУ в системе MatLAB, представляющей собой пакет прикладных программ инженерных вычислений, реализованы различные методы. При правильной постановке задачи решатели (solvers) дают достаточно точный результат. В качестве решателя выбран ode45, реализующий классический одношаговый явный метод Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков для систем уравнений явного вида.

На рис. 1 приведены графические результаты моделирования, характерные для затяжного прыжка парашютиста, массой m=80 кг, коэффициент сопротивления воздуха k₁=0 кг/c, k₂=0,55 кг/м, ускорение свободного падения g=9,81 м/с², при начальных условиях r₀= 0 м, v₀=0 м/с.

а) зависимость r(t)                                           б) зависимость v(t)

Рисунок 1. Графическое представление результатов

Через 15-20 с после начала полета изменение координаты носит линейный характер, а скорость становится постоянной и остается таковой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения (первый график выглядел бы как парабола, второй – прямая).

Перечисляя другие типы частных задач сложного движения, отметим, что большое количество физических задач сводится к анализу движения систем, имеющих две степени свободы. Например, задача о движении тела по искривленной поверхности, задача о движении тела, брошенного под углом к горизонту, задача о движении частицы в поле центральных сил и т.д.

Список литературы:

1. Поршнев С. В. Компьютерное моделирование физических процессов в пакете MATLAB. - М.: Горячая линия - Телеком, 2003. - 592 с.
2. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие для вузов. - М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 528 с.