ПРИМЕНЕНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

В данной статье ставится целью рассмотреть ряды Фурье и их практическое применение в электротехнике. Работа дополнена примерами и содержит список использованных учебных пособий.

Особенность математической науки состоит в том, что сама по себе математика абстрактна и в отрыве от реальной практики эта дисциплина выступает в роли своего рода «тренажёра для ума». В связи с этим, особо важно научить студентов применять математические модели и алгоритмы на практике.

В частности, одним из важнейших математических методов решения задач являются ряды Фурье. Разработанный французским математиком Ж.Ж.Фурье метод позволяет разложить любую функцию в ряд (т.е. сумму элементов числовой последовательности). Что интересно, раскладываемая в ряд функция может быть любой, но ряд при этом получается состоящим из тригонометрических подфункций.

Ряд Фурье. Примеры разложения функции в ряд Фурье

Для того, чтобы дать определение ряду Фурье, стоит вначале прояснить вопрос с определением понятия ряда.

Числовой ряд — формально составленная сумма всех элементов произвольной последовательности вида:

                                         (1.1)

Предположим, что существует две функции f(x) и g(x), которые можно проинтегрировать на некоем интервале [-l;l]. Если скалярное произведение этих функций равно нулю, то условимся считать данные функции ортонормированными.

Введём понятие нормы: если на некоем интервале [-l;l] функцию можно проинтегрировать, то нормой назовём неотрицательное число, равное

                                                       (1.2)

Если взять совокупность нескольких функций Ξ(x), где каждая из этих функций ортогональна к друг другу и при этом норма каждой функции равна единице, то можно обозначить данную совокупность (или пространство) функций как ортонормированное.

Исходя из вышесказанного, можно ввести определение ряда Фурье. Ряд Фурье — ряд вида

                                                            (1.3)

для произвольной интегрируемой на сегменте [-l;l] функции f(x) по ортонормированной в пространстве L[-l;l] системе , где числа  называются коэффициентами Фурье функции f(x) в системе

В общем виде, разложенная в ряд Фурье функция имеет вид

                                     (1.4)

Где

где  — полупериод.  

Обозначенные выше функции называют тригонометрические коэффициенты Фурье.

При этом, если мы хотим разложить на некоем промежутке функцию f(x), то она должна удовлетворять условиям Дирихле. Условия Дирихле гласят, что функция f(x) удовлетворяет условиям, если на некоем промежутке [-l;l] она либо непрерывна, либо имеет конечное число разрывов первого рода, т.е. устранимых разрывов. При этом, сам промежуток [-l;l] можно разбить на более мелкие промежутки таким образом, что на них функция будет вести себя монотонно.

Рассмотрим конкретный пример. Разложим простейшую функцию x+1 в ряд Фурье. Интервал разложения = [-π;π]

На выходе получаем, что (x+1) разложилась в ряд вида

                                         (1.5)

Нетрудно заметить, что обычная, несинусоидальная функция получила представление через периодическую функцию синуса.

Применение рядов Фурье в электротехнике

В электротехнике ряды Фурье используются для того, чтобы удобнее работать с несинусоидальными функциями ЭДС и токов. Также, ряды Фурье используются при расчёте несинусоидальных цепей переменного тока.

Для примера возьмём следующую цепь:

Рисунок 1. Цепь

В данном случае, предположим, что сделанное выше разложение в ряд Фурье соответствует функции входного напряжения. Найдём активную мощность и реакцию цепи (т.е., электрический ток), если в указанном разложении присутствует постоянная составляющая и 3я гармоника, сопротивление резистора R составляет 10 Ом, а сопротивление на конденсаторе Х_С = 2 Ом.

                                        (1.6)

Перепишем разложение в ряд Фурье в соответствие с нашими условиями, условившись, что х заменяется на ωt, где ω— циклическая частота колебаний, а t — период времени в секундах.

В случае с постоянной составляющей, равной 1 В, в цепи произойдёт разрыв, т.к. конденсатор не будет пропускать постоянный ток. Отсюда, I₀ = 0 A.

В случае рассмотрения третьей гармоники получаем следующее значение тока:

Мгновенное значение тока I₃ можно записать как

Поскольку постоянная составляющая тока отсутствует, то итоговое значение суммарного тока равно току i₃.

Активная мощность цепи равна:

Подставляем известные значения в формулу и получаем, что

Заключение

Ряды Фурье нашли активное применение в электротехнике при анализе и расчёте цепей с несинусоидальным периодическим сигналом. Ряды Фурье позволяют построить график несинусоидальной функции таким образом, чтобы на нём было удобно оценивать периоды колебаний и форму сигнала, поступающего в цепь. Разложение в ряд Фурье также позволяет работать с гармониками (составляющими разложения) любой степени, что бывает полезно при оценке пагубных воздействий на конденсаторы и выпрямители со стороны высших гармоник входящего сигнала.

В области теоретической электротехники разложение функции в ряд Фурье позволило оценить поведение различных реактивных элементов при прохождении через них токов, соответствующих чётным и нечётным гармоникам. Удалось установить, что в катушках индуктивности лучше выражены нечётные гармонические составляющие, а в конденсаторах — чётные. Это открытие позволило создать более эффективные выпрямители на основе соответствующих реактивных элементов.

Список литературы:

1. Ильин В.А., Куркина А.В., «Высшая математика», 3-е издание — М., Изд-во Московского Университета, 2015, стр. 472 — 489;
2. Письменный Д.Т. «Конспект лекций по высшей математике», часть 2 — М., изд-во «Айрис Пресс», 2015 год, стр. 144—150;
3. Смирнов В.И. «Курс высшей математики. Том 2». — М., изд-во «Наука», 1974, стр. 469 — 491;
4. Фихтенгольц Г.М., «Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 3» — М., изд-во «Высшая школа», 1977, стр. 427—440