ПРОГРАММА ФОРМАЛИЗМА

Кризис в философии математики породил еще одно направление – формализм. Основные идеи этого направления сложились в спорах с интуиционизмом.

Первым выступившим с идеями формализма был Д. Гильберт, он считал, что интуиционизм развалил математику, а формализм стремится вернуть ей былую уверенность. Но формализм критиковал не только интуиционизм, но и логицизм. Он полагал, что интуицию нельзя считать основным базисом построений в математике, так как продукты ее мышления не обладают наглядностью. Зато наглядностью обладают знаки. Математические знаки созерцаются непосредственно. Они отличаются друг от друга, выступают единицей математического мышления. Математика не сводима к логике, ведь прежде чем оперировать по законам логики со знаками, нужно иметь эти знаки в наличии, располагать объектами, которые бы поддавались логическим операциям. Ни логика, ни интуиция не могут быть базисом математики.

Опираясь на логицизм, восстанавливается действие закона исключенного третьего  в математике. Гильберт считал, что математика не должна отказываться от законов аристотелевской логики. Влияние вновь обретает и доказательство от противного. Это доказательство является опорой для принятия актуальной бесконечности, которая также приходит на замену интуиционистской потенциальной бесконечности.

От интуиционистов принимается четкое понятие алгоритма, детерминированность. В некоторых теориях проводилось соответствие с конструктивизмом.

Содержательная математика не должна быть логически противоречивой, иначе бы она приводила к ошибкам на практике. Но ссылка на практику не является уверенным аргументом, так как математика все же имеет дело не со знаками, а не с вещами реального мира. Следовательно, непротиворечивость должна присутствовать в знаковой форме.

Единственной реальностью, с которой математика имеет дело, это знаки. Речь здесь идет о внутриматематическом языке, об отношениях между знаками, а не о том, как математические объекты связываются с внешней действительностью. Символы – очищенные от конкретного содержания знаки.  Оперируя со знаками, математик не берет в расчет предметы природы, которые могут быть представлены этими знаками. Знаки создают самостоятельную реальность. Необходимо отвлечение от содержания знака, чтобы перейти в сферу формализованного исчисления.

Чтобы доказать непротиворечивость, используем метод абсолютного доказательства, который реализуется в идеях формализованной аксиоматике.  Стандартно непротиворечивость была доказуема посредством построения моделей, и если каждый постулат оказывался истинным утверждением об объектах модели, то постулаты были совместимы.  А предложенное Гильбертом доказательство не зависит от допущения, что другая система непротиворечива, она опирается только на заданное построение, поэтому и названо абсолютным.

Новый метод включал в себя построение формализованной математики взамен традиционной содержательной математики. Здесь в качестве начальных образований выступают абстрактные символы, а в качестве содержания выступают сочетания символов. В результате мы получаем только формулы. Формализация задана определенными шагами:

1) задается алфавит системы;

2) вводятся правила образования или это предложения системы;

3) отбираем исходные формулы, которые будут нашим базисом;

4) устанавливаем правила вывода.

Имея такую формализованную система теперь стало возможным доказать ее непротиворечивость. Это доказательство имеет только цель и алгоритм, оно строится без каких-либо эмпирических примесей. Алгоритм состоит из трех шагов:

1. Дается формула;

2. Утверждаем следование одной формулы из другой, правила заданы;

3. Предъявляется эта другая формула.

А целью является именно непротиворечивость. Так было получено доказательство непротиворечивости формальных систем, а как полагали формалисты, и непротиворечивость математики. Вывод формалистов: обоснование математики заключено в ней же.

Но программа формализма также как и предыдущие программы, оказалась невыполнима. Это доказал Курт Гедель. Когда аксиоматизируешь какую-либо область определенного знания, предполагали, что можно подобрать такую систему аксиом, при которой она будет полной. Быть полной это иметь возможность вывести все истинные формулы этого знания, используя данную систему аксиом. А если к системе присоединить невыводимую формулу, это приведет к противоречию. Невыводимая формула это формула, о которой нельзя сказать, истинна она или ложна. Такие мысленные образования неразрешимы. Строя аксиоматические системы считалось, что правил вывода и аксиом достаточно, чтобы не возникало подобных проблем.

Гедель доказал, что все подобные построения, которые содержат в качестве своей части аксиоматизированную арифметику неполны. В подобной системе всегда можно составить предложение, проверить истинность или ложность которого нам не удастся. Отсюда и видно неполноту. Подобное предложение можно представить в виде х, в котором содержится утверждение о недоказуемости. Хоть оно и истинно, это невозможно доказать.  Если мы попытаемся провести полную формализацию, у нас останется незадействованная часть, х. Чтобы обойти это, можно попробовать сделать незадействованную часть аксиомой, пополнить список аксиом, и тем самым завершить ее полноту. Но тогда, уже в новой системе, мы встретим предложение х’, которое снова не будет поддаваться формализации. Сделаем вывод: система неполна и непополняема.

Теорема Геделя была названа теоремой о неполноте формализованной арифметики.

Причина неполноты в недостаточной определенности понятия доказуемость. Понятие доказуемости для совокупности всех систем отсутствует, и мы можем сказать о доказуемости лишь конкретной системы. Здесь появляется вторая теорема Геделя. Не означает ли неполнота системы ее противоречивость. Гедель определил границы непротиворечивости. Формализованная арифметика не обязательно должна быть противоречива, но если она непротиворечива, то доказать это средствами этой системы невозможно. Невозможно доказать непротиворечивость на языке формального исчисления.

Теоремы выявили ограниченность формализма. Формализм заменил вопрос истинности математики на вопрос о непротиворечивости. Не все можно свести к формулам.

Следует признать, что выводы, заключенные Геделем и другими философами, такими как  А. Тарский, А. Черч не показывают ущербность формализма, они указывают границы его применения.  На основе этих решений удалось раскрыть такие понятия как «логическое следование», «доказуемость», «истинность». Это все оказало благоприятное влияние на развитие теории истин.

Формализовать истину, ни на одном этапе нам не удастся, мы будем просто гнаться за формализацией. Тут имеет место быть факт расширения системы.  Поэтому мы имеем возможность формализовать уже полученный результат, но для формализации нового нам придется постоянно расширять взятую нами систему.

Список литературы:

1. Гильберт Д. Основания геометрии / Д. Гильберт; Пер. с нем. И.С.Градштейна; Под ред. и с вступит. Статьей П.К.Рашевского. – М.Л.: ОГИЗ Гостехиздат, 1948. – 491с.
2. Сухотин А. К. Философия математики: учебное пособие / А. К. Сухотин; Под ред. В. А. Суровцева. – Томск: Из-во Том. Ун-та, 2004. - 230с.
3. Целищев В. В. Алгоритмизация мышления. Геделевский аргумент / В. В. Целищев. – Новосибирск: Параллель, 2005. - 303с.