ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ПОКАЗАТЕЛИ ИХ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ.

Наиболее развитые страны имеют постиндустриальный тип экономики. Данный тип характеризуется тем, что большую долю ВВП государства занимает сфера услуг, а так же тем, что количество занятых в этой сфере составляет не менее 50% от всего трудоспособного населения. В связи с таким стремительным ростом роли сферы услуг в экономике, возникает вопрос эффективного управления структурой и процессами обслуживания. Естественно, эффективная оптимизация услуг невозможна без применения математических методов и моделей. Одним из разделов математики, который занимается данной темой, является теория массового обслуживания. Согласно, Математическому энциклопедическому словарю: «Теория массового обслуживания (теория очередей) — раздел теории вероятностей, целью исследований которого является рациональный выбор структуры системы обслуживания и процесса обслуживания на основе изучения потоков требований на обслуживание, поступающих в систему и выходящие из неё, длительности ожидания и длины очередей». [3, стр. 327]. Основным понятием теории массового обслуживания является система массового обслуживания (СМО).

Система массового обслуживания − это система, которая систематически обрабатывает поступающие в неё заявки. Примерами таких систем в сфере услуг могут быть: телефонные системы, магазины, кассы, парикмахерские и т.п.

СМО состоят из какого-либо числа обслуживающих устройств (каналов): рабочие, приборы, компьютеры, продавцы. В зависимости от количества каналов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. СМО также классифицируются в зависимости от очереди на СМО: без очереди, с ограниченной очередью, с неограниченной очередью.

Заявки поступают на СМО в произвольном порядке. Это − телефонные звонки, покупатели, сигналы об аварии и тому подобное. Они образуют случайный поток заявок (требований), которые обслуживаются случайное количество времени. Это ведет к неравномерной работе СМО, усложняет ее эксплуатацию. Поэтому предметом теории массового обслуживания является построение математических моделей, которые связывают заданные условия роботы (число каналов, характер потока заявок и т. п.) с показателями эффективности СМО (среднее время пребывания заявки в СМО, вероятность отказа, среднее число заявок в очереди и т. п.).

Процесс работы СМО является случайным процессом с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это значит, что состояние СМО изменяется прыжками в случайные моменты появления каких-то событий, например, пришла новая заявка, освободился канал. Математический анализ работы СМО упрощается, если процесс – марковский. Марковским называется случайный процесс, если для любого момента времени t₀ вероятности характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент времени t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Рассматривая математическое описание марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем предположим, что все переходы системы из одного состояния S_i в другое будут происходить под действием каких-то потоков событий с заданной интенсивностью l. Тогда l будет равняться частному среднего числа заявок в системе и среднего времени их пребывания в системе (формула Литтла). Вероятностью i-го состояния называется вероятность p_i(t) того, что в момент t система находится в состоянии S_i. Для любого момента t сумма вероятностей всех состояний равняется единице. Такие изменения состояний системы можно представить в виде графа. В данном случае под графом понимается совокупность вершин (состояния системы) и их соединяющих стрелок (показывающих изменения состояний системы).

Для решения задач СМО с марковскими процессами используется уравнение Колмогорова. Уравнение Колмогорова – это уравнение для переходной функции марковского случайного процесса. Данное уравнение описывает вероятность перехода из одного состояния в другое в определенный момент времени. Существует правило составления системы уравнений Колмогорова по графу. Заключается оно в следующем. В левой части находится производная вероятности данного события (p_i), а в правой части  - сумма произведений вероятностей всех состояний, которые переходят в    i-е состояние, на интенсивности соответствующих потоков, минус произведение вероятности i-го состояния на суммарные интенсивности потоков, которые выходят из i-го состояния. Вид системы уравнений будет зависеть от графа, поэтому невозможно записать её в общем виде.

Особый интерес представляют вероятности p_i(t), где t®¥, которые называются предельными или финальными вероятностями. Такие вероятности существуют, если число состояний системы дискретно и за конечное число шагов можно перейти из одного состояния в любое другое. Для поиска предельных вероятностей составляется система линейных уравнений по следующему правилу: в левой части находится предельная вероятность данного события p_i, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а в правой части  - сумма произведений интенсивностей всех потоков, которые входят в i-е состояние, на вероятность тех состояний, из которых выходят эти потоки. Вид системы уравнений так же будет зависеть от графа состояний системы. Финальная вероятность показывает среднее относительное время пребывания системы в данном состоянии.

В экономической интерпретации исследование систем массового обслуживания играет важную роль для оценки эффективности работы системы (магазина, салона красоты, производства) и её оптимальной структуризации. Для системы массового обслуживания используются следующие показатели эффективности: относительная пропускная способность (Q), абсолютная пропускная способность (A), среднее число занятых каналов (n_зан), вероятность отказа (P_отк).

Рассмотрим пример решения задачи n-канальной СМО с отказами.

Имеется автозаправочная станция с двумя заправочными колонками. Интенсивность потока автомобилей на заправку равняется 8 авт./мин. Среднее время обслуживания автомобиля – 1,5 мин. Средний доход с одной обслуженной заявки – 4 ден.ед., а содержание каждой заправочной колонки обходится в 2 ден.ед. Если автомобиль приезжает на АЗС и все колонки заняты, машина уезжает. Необходимо выяснить выгодно ли, увеличить количество заправочных колонок до трех.

Решение:

Граф состояния системы будет иметь вид:

Возможные состояния системы:

S1 - все колонки свободны;

S2 - одна колонка занята;

S3 - обе колонки заняты.

Количество каналов: n=2;

Интенсивность потока заявок: λ=8 авт./мин.

Время обслуживания одной заявки: t_обс.=1,5 мин./авт., тогда интенсивность обслуживания: μ0,67 авт./мин.

Интенсивность нагрузки канала ρ = 11,9, т.е. в среднем за время заправки одного автомобиля, равного 2,5 минуты, поступит 11,9 новых заявок.

Имеем конечное количество состояний системы и конечное число переходов из одного состояния системы в любое другое, значит, существуют предельные вероятности. Найдем их, составив систему линейных уравнений:

Тогда решение имеет вид: p₀=0,01, p₁=0,14, p₂=0,85. Делаем вывод, что p₀=1% всего времени обе колонки простаивают, p₁=14% времени работает одна колонка, и p₂=85% от всего времени обе колонки заняты. Вероятность отказа в заправке P_отк=p₂=85%. Относительная пропускная способность: Q=1-P_отк=1-0,85=0,15, т.е. 15% автомобилей будут заправлены. Абсолютная пропускная способность: A=λQ=8*0,15=1,2 -среднее число обслуженных заявок. Среднее число занятых каналов: n_зан== 1,79.  Тогда прибыль АЗС равняется 4*1,2 – 2*2 = 0,8 ден.ед.

Рассмотрим показатели эффективности и прибыль АЗС при условии n=3: p₀=0,0027, p₁=0,0326, p₂=0,194, p₃=0,7707, Q=1-0,7707=0,2293, A=0,2293*8=1,83. Прибыль АЗС равняется 4*1,83-2*3=1,32 ден.ед. Из вычислений видим, что, несмотря на увеличение расходов на ещё одну заправочную колонку, прибыль увеличилась почти в два раза.

Исследование систем массового обслуживания играет важную роль как для государства в целом, так и для самых малых предпринимателей занятых в сфере услуг. Математические модели помогают вычислить прибыльность и показатели эффективности работы ещё даже не существующих организаций, спрогнозировать поведение системы в ближайшем будущем. А также способствуют созданию оптимальной организационной структуры систем массового обслуживания.

Список литературы:

1. Кошуняева Н.В., Патронова Н.Н. Теория массового обслуживания: практикум по решению задач// САФУ имени М.В. Ломоносова.Архангельск: САФУ, 2013-107с.
2. Левандовская И. В. Экономико-математическое моделирование: учебное пособие. Краматорск: ДГМА, 2008. – 48 с.
3. Математический энциклопедический словарь. Под ред. Ю.В. Прохоров. М.: «Советская энциклопедия», 1988 - 847с.
4. Новикова Н.В. Экономико-математические методы и модели: конспект лекций. – Минск, 2010. [электронный ресурс] - Режим доступа. -  URL:http://www.bsu.by/Cache/pdf/217743.pdf (дата обращения 20.08.2016)
5. Пучков Н.П., Денисова А.Л., Щербакова А.В. Математика в экономике: учебное пособие. Тамбов: Изд. Тамб. гос. техн. ун., 2002. – 80 с.