КОМПЬЮТЕРНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СЛОЖНЫХ ЗАДАЧ ПЛАНИМЕТРИИ

COMPUTER METHOD FOR SOLVING PLANIMETRY COMPLEX PROBLEMS

Dmitry Tereshin

Cadet of the 10th "A" class, Kuban Cossack Cadet Corps named after Ataman M.P. Babycha,

Russia, Krasnodar

Natalia Andraphanova

scientific adviser, candidate of Pedagogics, Associate Professor, mathematics teacher, Kuban Cossack Cadet Corps named after Ataman M.P. Babycha,

Russia, Krasnodar

АННОТАЦИЯ

В работе представлен подход к конструированию моделей сложных задач планиметрии средствами компьютерных технологий на примере системы динамической геометрии GeoGebra. Широкие функциональные возможности этой программы позволяют традиционный набор инструментов для выполнения геометрических построений (линейка, циркуль и транспортир) дополнить привычным для современного школьника инструментом - компьютером с целью визуализации учебной информации и улучшения ее представления, восприятия, понимания и запоминания.

ABSTRACT

The article presents an approach to the construction of planimetry complex problems by means of computer technologies on the example of the dynamic geometry system GeoGebra. The extensive functionality of this program allows the traditional set of tools for performing geometric constructions (ruler, compass and protractor) to be supplemented with a computer tool familiar to the modern student in order to visualize educational information and improve its presentation, perception, understanding and memorization.

Ключевые слова: система динамической геометрии; GeoGebra; компьютерные технологии в изучении геометрии.

Keywords: dynamic geometry software, software GeoGebra, computer technology in geometry.

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать». С этим высказыванием Галилео Галилея трудно поспорить, ведь геометрия - удивительная наука, с историей, насчитывающей не одно тысячелетие, но постоянно удивляющей каждое новое поколение учеников красотой своих открытий. Геометрия - это мир вокруг нас: красивый, удивительный, сложный. Поэтому для познания нашего мира важно геометрическое знание.

Однако многие школьники считают геометрию одним из сложных и неинтересных предметов. Пожалуй, трудно найти родителя школьника или будущего школьника, кто не слышал бы страшилку про геометрию: «Геометрия — это ужас, её никто не понимает». Проведенный нами опрос среди учащихся 10 классов (32 человека) Кубанского казачьего кадетского корпуса им. атамана М.П. Бабыча показал, что 75% респондентов считают геометрию сложным и неинтересным разделом математики, 70% считают, что не знают планиметрию 7-9 класса.

Статистика также подтверждает данные нашего опроса: 80% выпускников не решают геометрические задачи на ОГЭ и ЕГЭ по математике, около 60% даже не берутся [1, c. 26]. На вопрос: «Почему?» многие отвечают: «Геометрию с седьмого класса не понимаю». Вот такая геометрия. Становится обидно за нее - самую «загадочную» науку, в которой решение почти каждой задачи похоже на разгадывание загадки.

Наше исследование – это попытка изменить восприятие и понимание сложного геометрического материала, и, следовательно, отношение к изучаемому разделу математики. Ведь общеизвестным является тот факт, что не интересно то, что непонятно. Целью исследования является конструирование моделей сложных задач планиметрии, изучаемых в школьном курсе геометрии 10 класса, с использованием системы динамической геометрии GeoGebra. Традиционный набор инструментов для выполнения геометрических построений (линейка, циркуль и транспортир) был дополнен привычным и понятным для современного школьника инструментом - компьютером с целью визуализации учебной информации и улучшения ее представления, восприятия, понимания и запоминания. При этом при создании компьютерных чертежей у учащихся сохраняется правильное представления о технике геометрического построения.

Учеными доказано, что до 80–85% всей информации человек воспринимает с помощью органов зрения, а запоминает, в том числе и школьники, 5% услышанного и 20% увиденного. Если же информация будет сопровождаться аудио- и/или видеофрагментами, то запоминаемость материала повышается до 40–50%.

Актуальность применения компьютера и возможностей компьютерных технологий в процессе изучения геометрического материала по сравнению с традиционным обучением обусловлена рядом преимуществ, среди которых расширенный по сравнению с геометрией «на бумаге» набор элементарных операций, упрощающих построение чертежа за счет снижения технических трудностей и рутинной работы, связанной с выполнением однотипных операций, а также возможность быстрого и простого видоизменения чертежа.

На сегодняшний день существуют различные программы, с помощью которых можно внести изменения в традиционный подход к изучению геометрии. Эти программы постоянно обновляются и улучшаются. Нами выбрана система динамической геометрии (СДГ) GeoGebra. Она разработана Маркусом Хохенвартером, бесплатно распространяется, обладает простым интерфейсом пользователя, имеет русскоязычную версию. Программу можно скачать на официальном сайте GeoGebra https://www.geogebra.org, поэтому ее удобно применять как на уроках, так и дома [3].

Возможности СДГ GeoGebra, в том числе и анимационные, послужили идеей конструирования учебных моделей решения сложных планиметрических задач, изучаемых в школьном курсе геометрии 10 класса, с применением данной компьютерной технологии. Несмотря на высокий развивающий потенциал систем динамической геометрии их почти не используют в школьном курсе математики и отсутствует методика их использования. Однако из истории математики нам известно, что многие математические результаты были получены в результате исследования, посредством экспериментов и индуктивных рассуждений, и только позднее они были доказаны дедуктивным методом. Среди них можно выделить математические открытия Л.Эйлера, которые являются уникальным результатом творческой исследовательской деятельности.

Задачи исследования:

1. Провести теоретический обзор некоторых сложных задач планиметрии курса геометрии 10 класса.
2. Познакомиться с интерфейсом и инструментарием системы динамической геометрии GeoGebra, необходимым для конструирования моделей решения сложных планиметрических задач.
3. Создать наглядную модель решения задачи Эйлера и ее свойств.
4. Продемонстрировать разработанные модели на занятиях внеурочной деятельности («Математическая лаборатория по решению избранных задач»), определить целесообразность применения нетрадиционного подхода с помощью системы динамической геометрии GeoGebra при изучении сложных задач планиметрии.

Гипотеза. Так как программа GeoGebra обладает широкими функциональными возможностями, в том числе и анимационными, то ее целесообразно применять для конструирования моделей решения сложных задач планиметрии с целью визуализации сложной информации для лучшего представления и восприятия.

Объект исследования: система динамической геометрии GeoGebra.

Предмет исследования: модели решения сложных задач планиметрии в системе динамической геометрии GeoGebra.

В качестве сложных задач планиметрии была взята задача Эйлера из главы VIII «Некоторые сведения из планиметрии» учебника 10-11 класса, необязательная для базового уровня подготовки, но необходимая для профильной подготовки [2, c. 200]. Это задача о самом простом из многоугольников - треугольнике, который привлекал внимание как ученых древности (Герон, Менелай, Птолемей), так и ученых более близких к нашему времени (Эйлер, Понселе и др.).

В задаче Эйлера речь идет об окружности девяти точек – окружности, на которой лежат основания высот, основания медиан, точки, расположенные на серединах отрезков от ортоцентра до вершин треугольника; о точках, лежащих на одной прямой – прямой Эйлера (ортоцентр, центроид и центр описанной окружности); о свойствах центроида, центра окружности девяти точек и о других свойствах.

Рисунок 1. Окружность девяти точек

Для изучения этих свойств были использованы экспериментальные возможности СДГ GeoGebra и инструменты для реализации задач компьютерного эксперимента с целью проверки истинности рассматриваемых теорем и свойств и создания компьютерных моделей решения этих задач.

Инструменты, которые могут быть использованы для реализации задач компьютерного эксперимента, представлены на рисунке 2:

• инструменты для выявления метрических и позиционных свойств объекта («Расстояние или длина», «Угол», «Площадь», «Наклон прямой»);
• инструменты для получения сведений об отношении метрических и позиционных свойств объектов («Отношение объектов»);
• возможность движущейся точки оставлять след (свойство объекта «Оставлять след»);
• инструмент для параметрического задания изменений величины («Ползунок»);
• создание таблиц экспериментальных данных (команда меню Вид®Таблица, инструмент «Запись в таблицу»);
• создание динамических текстов («Надпись»).

Рисунок 2. Инструменты для компьютерного эксперимента

Продемонстрируем изучение одного из свойств задачи Эйлера: в произвольном треугольнике точки, симметричные точке пересечения высот H (или их продолжений) относительно сторон треугольника, и точки, симметричные точки H относительно середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности.

Цель компьютерного эксперимента: построение динамического чертежа данного свойства и проверка его истинности независимо от вида треугольника.

Таблица 1

Алгоритм построения динамического чертежа (рисунок 3)

Рисунок 3. Результат построения динамического чертежа

Для демонстрации логического доказательства принадлежности точки А₂ описанной около треугольника АВС окружности можно с помощью инструмента «Ползунок» создать на одном полотне с чертежом пошаговое доказательство в виде «живого рисунка» (рисунок 4) [4, с. 134].

Рисунок 4. Компьютерное доказательство свойства

Практическая значимость проведенного исследования заключается в возможности применения разработанного материала при проведении уроков геометрии, во внеурочной деятельности, в создании образовательных веб-ресурсов для изучения сложного геометрического материала.

Список литературы

1. Андрафанова Н.В. Компьютерные технологии в организации внеурочной деятельности в предметной области «Математика»//Мир педагогики и психологии: международный научно–практический журнал. Нижний Новгород: НИЦ «Открытое знание», 2020. №12 (53). С.25-33.
2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни. М.: Просвещение, 2009.
3. Сайт GeoGebra http://www.geogebra.org/
4. Андрафанова Н.В. Об экспериментальной составляющей современного математического образования. Информатизация образования и науки, 2017. №3 (35). С.123-136.