МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОСТУПЛЕНИЯ ЗАКАЗОВ В ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИНАХ НА ОСНОВЕ ПУАССОНОВСКОГО ПРОЦЕССА

MODELING ORDER RECEIPT IN ONLINE STORES BASED ON A POISSON PROCESS

Borovik Arina Alexanndrovna

Student, Faculty of Engineering and Economics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Solovyova Karina Andreevna

Student, Faculty of Engineering and Economics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

Senior Lecturer of the Department of Economic Informatics, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается применение распределения Пуассона для моделирования потока заказов в интернет-магазинах. Кратко изложены исторические предпосылки появления распределения и его основные свойства. Показано, как на основе средней интенсивности заказов можно оценивать вероятности различных сценариев, прогнозировать нагрузку на систему и анализировать динамику спроса в условиях цифровой коммерции.

ABSTRACT

This paper examines the application of the Poisson distribution to modeling order flows in online stores. It briefly outlines the historical background of the distribution and its key properties. It demonstrates how average order intensity can be used to estimate the probabilities of various scenarios, forecast system load, and analyze demand dynamics in digital commerce.

Ключевые слова: распределение Пуассона; пуассоновский процесс; поток заказов; интернет-магазин; моделирование; цифровая коммерция; редкие события.

Keywords: Poisson distribution; Poisson process; order flow; online store; modeling; digital commerce; rare events.

История возникновения распределения Пуассона уходит в начало XIX века, когда Симеон Дени Пуассон предложил модель случайных событий для аналитики ошибок судебных решений и других статистических задач. Впоследствии концепция «закона малых чисел» стала ключевой в объяснении того, как множество независимых редких явлений складываются в закономерный статистический образ. Один из классических иллюстративных примеров — исследование Ладислава фон Борткевича о смертях солдат от ударов лошадей — показывающее, что крайне редкие события при большом числе наблюдений согласуются с распределением Пуассона. В статистике и теории вероятностей это распределение применяют как модель для счётных случайных величин, возникающих при условии, что события происходят без взаимного влияния и с устойчивой средней интенсивностью. Идея проста: если мы знаем среднее количество событий за некоторый промежуток, можем оценить, насколько вероятны отклонения от этого среднего.

Суть распределения Пуассона можно выразить формулой

                                               (1)

X – число событий;

k – некоторая целочисленная величина (0, 1, 2, …);

l – среднее ожидаемое количество событий на рассматриваемом интервале.

Эта формула рассказывает, какие именно вероятности соответствуют каждому возможному числу событий: часто будет близко к «λ», иногда — меньше, иногда — чуть больше. При этом распределение Пуассона обладает важным свойством: его математическое ожидание и дисперсия равны — то есть разброс значений связан непосредственно со средним. В том случае, если значение «λ» велико, распределение становится более «размазанным», приближаясь к нормальному виду, но сохраняет характер случайного флуктуационного поведения.

В контексте интернет-магазинов поток заказов можно представить как случайные точки во времени, где каждое событие — это оформление нового заказа. Предполагается, что решения покупателей осуществляются независимо друг от друга, что вероятность двух заказов одновременно в очень короткий отрезок времени мала, и что средняя частота заказов остаётся приблизительно постоянной в течение выбранного временного окна. В таких условиях описание числа заказов с помощью пуассоновского процесса становится естественным.

Пусть интернет-магазин получает в среднем «λ» заказов в единицу времени. Тогда вероятность того, что за время «t» поступит ровно «k» заказов, задаётся той же формулой с аргументом «λt» вместо «λ». Это означает: если в среднем магазин получает 60 заказов в час, то за каждые две минуты средняя «ожидаемая» величина будет 2×60/60=2 заказов, и можно вычислить вероятность, что придут 0, 1, 2 или больше заказов, используя формулу Пуассона.

Рассмотрим интерпретацию на конкретном примере. Пусть средняя интенсивность заказов составляет 150 заказов в час, что соответствует одному заказу в минуту. Тогда за одну минуту ожидаемое λt=2,5. Вероятность того, что не будет ни одного заказа за минуту, равна e^-1≈0,082; вероятность того, что поступит ровно один заказ около 0,205; вероятность двух заказов — около 0,256; вероятность трёх заказов – около 0,214; вероятность четырёх заказов – около 0,133. Эти числа иллюстрируют естественное колебание: чаще всего будет два заказа, реже – три, иногда — один, иногда — ноль, четыре или даже больше, но вероятность больших отклонений быстро уменьшается. Таким образом, просто зная среднее, можно оценивать вероятность множества сценариев без сложных предположений.

Практическое значение такого подхода в электронной коммерции велико. Во-первых, он позволяет планировать нагрузку на серверы: если сервер справляется с не более чем «M» заказами за минуту, модель Пуассона помогает оценить вероятность того, что придёт больше заказов, чем система сможет обработать.

Во-вторых, модель помогает оценивать, как распределять курьеров и операторов в разные часы, особенно если исторические данные позволяют вычислить среднее число заказов в каждый час.

В-третьих, при маркетинговых акциях или сезонных распродажах изменение среднего «λ» может сигнализировать о росте активности клиентов, и, сравнивая старые и новые значения, компания может измерить эффективность кампаний.

В-четвёртых, модель помогает прогнозировать вероятность «вспышек» заказов и заранее принимать меры (масштабирование системы, ограничения, буферные мощности).

Реальные данные часто показывают, что интенсивность заказов не остаётся строго постоянной: в утренние часы активность ниже, вечером — выше. Это нарушает одно из допущений простого пуассоновского процесса. В таких случаях используют модификацию — неоднородный пуассоновский процесс, где средняя скорость событий изменяется со временем. Бывают также ситуации, когда заказы поступают «скопом» после рекламных рассылок или акций, тогда события уже не независимы и модель Пуассона недостаточна: применяют смеси пуассонов или модели с корреляциями. Даже с учётом этих ограничений простая пуассоновская модель остаётся отличной отправной точкой. Она понятна, математически управляемая и легко интерпретируется, что делает её востребованной в аналитике электронной коммерции. Можно взять исторические данные по интернет-заказам (например, поминутные или почасовые записи), оценить среднюю интенсивность, сравнить эмпирическое распределение заказов с модельным через критерии соответствия и далее на основе этого оценить риски перегрузок.

В итоговом виде применение распределения Пуассона к моделированию заказов в интернет-магазине позволяет связать простой статистический закон с реальными управленческими задачами: прогнозами нагрузки, планированием ресурсов, оценкой рекламной эффективности и обеспечением устойчивости цифровой платформы. Такой подход демонстрирует, как абстрактные идеи теории вероятностей превращаются в прагматичные инструменты в электронной экономике.

Список литературы:

1. Исследование статистического характера распада радиоактивных ядер – распределение Пуассона: Учебно-методическое пособие для студентов Института физики / Ф.Г. Вагизов, Е.Н. Дулов. – Казань: Издательство Казанского федерального университета, 2012. - 22 с.
2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 573 с.