СИМУЛЯЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ С ПОМОЩЬЮ ГЕНЕРАТОРОВ ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ

SIMULATION OF RANDOM PROCESSES USING PSEUDORANDOM NUMBER GENERATORS

Lovtsevich Anna Yuryevna

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Evtukhovich Anna Sergeevna

student, Department of Management, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

Lyudmila Petrovna Fedosyuk

Senior Lecturer, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются теоретические и практические аспекты моделирования случайных процессов с использованием генераторов псевдослучайных чисел (ГПСЧ). Анализируются требования к ГПСЧ, ключевые методы генерации и преобразования равномерно распределенных последовательностей, а также приводятся примеры применения этих методов в различных областях. Особое внимание уделяется проблемам и ограничениям, присущим симуляции на основе псевдослучайных чисел.

ABSTRACT

The article explores theoretical and practical aspects of modeling random processes using pseudorandom number generators (PRNGs). It examines the requirements for PRNGs, key methods for generating and transforming uniformly distributed sequences, and provides examples of applying these methods across various domains. Special attention is given to the challenges and limitations inherent in pseudorandom number-based simulation.

Ключевые слова: генератор псевдослучайных чисел, случайный процесс, моделирование, метод Монте-Карло, равномерное распределение, преобразование случайных величин.

Keywords: pseudorandom number generator, random process, simulation, Monte Carlo method, uniform distribution, transformation of random variables.

Современные научные и инженерные исследования часто сталкиваются с необходимостью анализа сложных систем, поведение которых зависит от множества стохастических факторов. Прямое натурное экспериментирование с такими системами может быть дорогостоящим, опасным или вовсе невозможным. В этой связи компьютерное моделирование, или симуляция, становится незаменимым инструментом, позволяющим изучать поведение системы в контролируемых условиях и прогнозировать ее характеристики. Поскольку компьютеры являются детерминированными системами, для имитации случайности в них используются специализированные алгоритмы, генерирующие последовательности чисел, которые по своим статистическим свойствам приближаются к истинно случайным. Такие последовательности называются псевдослучайными, а алгоритмы их генерации - генераторами псевдослучайных чисел (ГПСЧ). Именно на их основе строится моделирование любых случайных процессов, от простейших до чрезвычайно сложных.

Основная задача любого ГПСЧ - порождение последовательности чисел, равномерно распределенных на стандартном интервале [0, 1). Эта последовательность служит фундаментом, на котором строится моделирование случайных величин с любыми другими законами распределения. Качественный генератор должен удовлетворять ряду критически важных требований. Во-первых, это равномерность - сгенерированная последовательность должна надежно проходить статистические тесты на соответствие равномерному распределению. Во-вторых, это большой период - длина последовательности до момента ее повторения должна быть чрезвычайно велика, чтобы исключить цикличность в рамках одной симуляции; для современных приложений период часто превышает 2⁶⁴. В-третьих, это воспроизводимость - возможность точного воспроизведения всей последовательности при задании одинакового начального значения, что абсолютно необходимо для отладки сложных моделей и сравнения различных сценариев. Наконец, генератор должен быть быстрым и портативным, то есть выдавать идентичные результаты на разных вычислительных платформах. Среди исторически значимых алгоритмов можно выделить линейный конгруэнтный генератор, однако его недостатки, такие как короткий период и корреляции, привели к широкому распространению более совершенных методов, например, алгоритма «Вихрь Мерсенна», который обладает колоссальным периодом и высоким качеством статистических свойств.

Получив в свое распоряжение базовую последовательность, распределенную по равномерному закону, исследователь может моделировать случайные величины с практически любым целевым распределением. Одним из наиболее универсальных и фундаментальных методов является метод обратного преобразования. Его идея основана на использовании обратной функции распределения. Если F(x) - это функция распределения целевой случайной величины, то алгоритм генерации заключается в следующем: сначала генерируется значение u из равномерного распределения на [0, 1], после чего искомое значение x вычисляется как:

Ярким примером является моделирование показательного распределения с параметром λ, где обратная функция имеет вид:

Для генерации стандартного нормального распределения N(0,1) широко применяется метод Бокса-Мюллера, который позволяет получить пару независимых нормальных величин из пары независимых равномерных величин. Помимо этих, существует множество других специализированных методов, таких как метод исключений Неймана, которые могут быть более эффективны для конкретных, особенно сложных, распределений.

Случайный процесс представляет собой не просто одну величину, а семейство случайных величин, параметризованных временем или пространством. Моделирование процессов, таким образом, подразумевает генерацию их траекторий. Простейшим примером является процесс Бернулли и его непрерывный аналог - случайное блуждание. На каждом шаге такого процесса с вероятностью p происходит "успех" и с вероятностью 1-p - «неудача», что моделируется простым сравнением равномерно сгенерированного числа u с величиной p. Более сложным и практически значимым является пуассоновский процесс, который моделирует моменты наступления случайных событий, например, вызовы в call-центр. Поскольку промежутки времени между событиями в таком процессе имеют показательное распределение, его траектория строится путем накопления сумм этих независимых показательных величин. Одним из краеугольных камней финансовой математики является винеровский процесс и его экспоненциальная форма - геометрическое броуновское движение, используемое для моделирования цен активов. Его траектория моделируется путем дискретизации и последовательного вычисления нового значения цены, куда подставляется новое сгенерированное нормально распределенное приращение.

Методы симуляции на основе ГПСЧ находят широчайшее применение в самых разных областях знания. В финансовой индустрии с их помощью оценивается стоимость сложных производных финансовых инструментов и рассчитываются показатели риска. В теории массового обслуживания они позволяют анализировать загруженность и эффективность систем, начиная от сетей связи и заканчивая логистическими цепями. В физике частиц методы Монте-Карло, основанные на ГПСЧ, используются для моделирования прохождения излучения через вещество. Машинное обучение также активно использует псевдослучайность для инициализации весов нейронных сетей и в стохастических алгоритмах оптимизации. Однако при всей своей мощности метод имеет важные ограничения. Ключевым из них является детерминизм любой симуляции - при одинаковом начальном значении сида результат будет полностью повторяемым, что одновременно является и достоинством, и указанием на искусственность «случайности». Качество результатов напрямую зависит от качества самого ГПСЧ; плохой генератор может внести в модель скрытые систематические ошибки. Поэтому на практике для получения статистически устойчивых результатов проводят множественные прогоны модели с различными начальными значениями.

Таким образом, симуляция случайных процессов с помощью генераторов псевдослучайных чисел представляет собой мощный и гибкий инструмент для исследования сложных стохастических систем, недоступных для полного аналитического анализа. Эффективность этого подхода напрямую зависит от корректного выбора и использования ГПСЧ, отвечающего современным требованиям к равномерности и периоду, а также от адекватного применения методов преобразования равномерной последовательности в последовательности с требуемыми статистическими свойствами. Несмотря на присущие методу ограничения, связанные с детерминированной природой псевдослучайных последовательностей, при грамотном и осознанном подходе он позволяет получать надежные и практически значимые результаты, делая его одним из краеугольных камней вычислительной науки и практики.

Список литературы:

1. Романков, С. В. Методы генерации псевдослучайных чисел / С. В. Романков. - Текст: непосредственный // Молодой ученый. - 2022. - № 33 (428). - С. 4-10.
2. Понятие случайного процесса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://sci.house/sluchaynyih-protsessov-teoriya-scibook/ponyatie-sluchaynogo-protsessa.html (дата обращения: 16.11.25)
3. Генерирование случайных числовых последовательностей с равномерным распределением [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/generirovanie-sluchaynyh-chislovyh-posledovatelnostey-s-ravnomernym-raspredeleniem (дата обращения: 16.11.25)