УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ

Что такое уравнения Навье-Стокса?

Уравнения Навье-Стокса «управляют» движением жидкостей и могут рассматриваться как второй закон движения Ньютона для жидкостей. В случае сжимаемой ньютоновской жидкости это дает

где u - скорость жидкости, p - давление жидкости, ρ - плотность жидкости, а µ - динамическая вязкость жидкости. Различные члены соответствуют силам инерции (1), силам давления (2), силам вязкости (3) и внешним силам, действующим на жидкость (4). Уравнения Навье-Стокса были получены Навье, Пуассоном, Сен-Венаном и Стоксом между 1827 и 1845 годами.

Эти уравнения всегда решаются вместе с уравнением неразрывности:

Уравнения Навье-Стокса представляют собой сохранение импульса, в то время как уравнение непрерывности представляет собой сохранение массы.

Как они применяются для моделирования?

Эти уравнения лежат в основе моделирования потока жидкости. Их решение для определенного набора граничных условий (таких как входы, выходы и стенки) предсказывает скорость жидкости и ее давление в данной геометрии. Ввиду их сложности эти уравнения допускают только ограниченное число аналитических решений. Например, относительно легко решить эти уравнения для потока между двумя параллельными пластинами или для потока в круглой трубе. Однако для более сложных геометрий уравнения также решаемы.

Различные виды уравнений Навье-Стокса

В зависимости от интересующего режима потока часто можно упростить эти уравнения. В других случаях могут потребоваться дополнительные уравнения. В области гидродинамики различные режимы потока классифицируются с использованием безразмерного числа, такого как число Рейнольдса и число Маха.

О числах Рейнольдса и Маха

Число Рейнольдса Re = ρUL/μ соответствует отношению сил инерции (1) к силам вязкости (3). Оно измеряет турбулентность потока. Потоки с низким числом Рейнольдса являются ламинарными, а потоки с большим числом Рейнольдса - турбулентными.

Число Маха, M = U/c, соответствует отношению скорости жидкости U к скорости звука в этой жидкости, c. Число Маха измеряет сжимаемость потока.

Для несжимаемых течений уравнение неразрывности имеет следующий вид:

Поскольку расхождение скорости равно нулю, мы можем удалить слагаемое:

от члена вязкой силы в уравнениях НС в случае несжимаемого потока.

Далее мы рассмотрим в качестве примера режим потока с высоким числом Рейнольдса.

Высокое число Рейнольдса/ турбулентный поток

В технических приложениях, где число Рейнольдса очень велико, силы инерции (1) намного больше, чем силы вязкости (3). Такие проблемы турбулентного потока носят переходный характер; необходимо использовать сетку, достаточно плотную, чтобы учесть размер наименьших вихрей в потоке.

Выполнение такого моделирования с использованием уравнений НС часто выходит за рамки вычислительной мощности большинства современных компьютеров и суперкомпьютеров. Вместо этого мы можем использовать Рейнольдс-усредненную Навье-Стокса (RANS) формулировку уравнений Навье-Стокса, которая усредняет поля скорости и давления во времени.

Эти усредненные по времени уравнения затем могут быть вычислены стационарным способом на относительно грубой сетке, таким образом, значительно уменьшая вычислительную мощность и время, требуемое для такого моделирования (обычно несколько минут для двумерного потока и от нескольких минут до нескольких дней для трехмерного потока).

Формула Рейнольдса-усредненного Навье-Стокса (RANS) выглядит следующим образом:

Здесь U и P - усредненные по времени скорость и давление соответственно. Член µT представляет турбулентную вязкость, то есть эффекты мелкомасштабных нестационарных флуктуаций скорости, которые не решаются уравнениями RANS.

Турбулентная вязкость оценивается с использованием моделей турбулентности. Наиболее распространенной является модель турбулентности k-ε (одна из многих моделей турбулентности RANS). Эта модель часто используется в промышленных приложениях, потому что она является надежной и недорогой в вычислительном отношении. Она состоит из решения двух дополнительных уравнений для переноса турбулентной кинетической энергии k и турбулентного рассеивания ε.

Сжимаемость потока

Несжимаемый Поток

Когда число Маха очень мало, можно предположить, что поток несжимаемый. Это часто является хорошим приближением для жидкостей, которые гораздо менее сжимаемы, чем газы. В этом случае плотность считается постоянной, а уравнение неразрывности сводится к ∇⋅u = 0. Воду, протекающая с низкой скоростью через пористую среду, является хорошим примером несжимаемого потока.

Сжимаемый поток

В некоторых случаях скорость потока достаточно велика, чтобы внести значительные изменения в плотность и температуру жидкости. Этими изменениями можно пренебречь при М<0,3. Однако при M>0,3 связь между полем скорости, давления и температуры становится настолько сильной, что необходимо решить НС и уравнения неразрывности вместе с уравнением энергии (уравнение для теплообмена в жидкостях). Уравнение энергии определяет температуру в жидкости, которая необходима для расчета её свойств материала, зависящих от температуры.

Какие режимы потока не могут быть решены уравнениями Навье-Стокса?

Уравнения Навье-Стокса действительны только до тех пор, пока представительный масштаб физической длины системы намного больше, чем длина свободного пробега молекул, составляющих жидкость. В этом случае жидкость называется континуумом. Отношение длины свободного пробега λ и типичного масштаба длины L называется числом Кнудсена, Kn = λ/L.

Уравнения НС верны для Kn <0.01. При 0,01 <Kn <0,1 эти уравнения еще можно использовать, но они требуют специальных граничных условий. Для Kn> 0.1 они не действительны. При давлении окружающей среды 1 атм, например, длина свободного пробега молекул воздуха составляет 68 нм. Поэтому характерная длина вашей модели должна быть больше 6,8 мкм, чтобы уравнения НС были действительными [1].

Список литературы:

1. What Are the Navier-Stokes Equations? [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.comsol.com/multiphysics/navier-stokes-equations/ (дата обращения 20.04.2020).