Телефон: +7 (383)-202-16-86

Статья опубликована в рамках: LXIV Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 31 мая 2018 г.)

Наука: Физика

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции

Библиографическое описание:
Молчанова А.А. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ // Научное сообщество студентов XXI столетия. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ: сб. ст. по мат. LXIV междунар. студ. науч.-практ. конф. № 5(63). URL: https://sibac.info/archive/nature/5(63).pdf (дата обращения: 24.08.2019)
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 66 голосов
Дипломы участников
Диплом Интернет-голосования

УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ

Молчанова Анастасия Александровна

студент энергетического факультета ИрГАУ им. А.А. Ежевского,

РФ, г. Иркутск

Научный руководитель Голышева Светлана Павловна

канд. пед. наук, доцент кафедры математики ИрГАУ им. А.А. Ежевского,

РФ, г. Иркутск

Аннотация: Данная статья посвящена уравнению теплопроводности для нестационарного случая. Решение таких задач, которые по своему содержанию приближены к реальным ситуациям, способствуют развитию профессиональных компетенций.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, решение дифференциального уравнения, уравнение теплопроводности, стержень неограниченный, ограниченный с одного конца, ограниченный с обоих концов.

 

Курс обучения дисциплине «Математика» студентов инженерно-технических направлений и специальностей при изучении темы «Дифференциальные уравнения», как правило, ограничен рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно несправедливо дифференциальные уравнения в частных производных остаются в стороне. Именно последние представляют наибольший интерес, поскольку ими описываются процессы и явления, происходящие в окружающей действительности.

Так, к примеру, уравнение , где  - температура однородного тела в точке , ограниченного поверхностью  в момент времени , является уравнением теплопроводности для нестационарного случая. Если однородным телом, поглощаемым количество тепла, является стержень, то уравнение примет вид

                                                      .                                              (1)

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующие нахождение температуры стержня в точке в зависимости от его длины.

Пример 1. Дан тонкий однородный стержень длины , изолированный от внешнего пространства и имеющий начальную температуру . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени  (рис. 1) [1, с. 252].

 

Решение. Из условия задачи следует, что стержень ограничен с обоих концов, т.е. . Закон распределения температуры стержня описывается уравнением (1). Для нахождения температуры стержня в момент времени  применим следующие формулы:

 

,        где     .

Итак,

;

при  четном , при  нечетном  или ,          Следовательно,  температура стержня будет определяться функцией

,

являющейся решением уравнения (1) при заданных начальных и граничных условиях.

Пример 2. Имеется однородный полубесконечный стержень, левый конец которого поддерживается нулевой температурой. Найти закон изменения температуры в момент времени , если в начальный момент времени температура изменялась по закону: , причем (рис. 2).

Решение. Закон изменения температуры стержня задается уравнением (1). В случае ограниченности стержня с одной стороны, температуру можно найти по формуле

.

В нашем случае .

Применяя подстановки:  и и учитывая, что  , где  – функция Лапласа, окончательно получим:

.

Пример 3. Имеется однородный бесконечный стержень, температура которого в начальный момент времени изменялась по прямолинейному закону от точки  к точке . Определить, по какому закону изменялась температура стержня при , если закон изменения ее описывается уравнением  (рис. 3).

 

В начальный момент времени температура изменялась по закону

.

В случае бесконечного стержня температуру стержня можно найти по формуле:

.

Следовательно,

Рассмотренные задачи были придуманы нами, что послужило толчком для творческого развития студентов, их мышления, внимания, а также применения ими ранее изученных математических методов.

Подведя итоги, необходимо заметить, что в данной статье мы ограничились рассмотрением уравнения теплопроводности для нестационарного случая. В дальнейшем мы намерены исследовать уравнение для стационарного случая.

 

Список литературы:

  1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учеб. пособие для студентов втузов. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа,1980. – 365 с.
Проголосовать за статью
Конференция завершена
Эта статья набрала 66 голосов
Дипломы участников
Диплом Интернет-голосования

Оставить комментарий