УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО СЛУЧАЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СТУДЕНТАМИ ИНЖЕНЕРНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ АГРАРНЫХ ВУЗОВ

Аннотация: Данная статья посвящена уравнению теплопроводности для нестационарного случая. Решение таких задач, которые по своему содержанию приближены к реальным ситуациям, способствуют развитию профессиональных компетенций.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение, решение дифференциального уравнения, уравнение теплопроводности, стержень неограниченный, ограниченный с одного конца, ограниченный с обоих концов.

Курс обучения дисциплине «Математика» студентов инженерно-технических направлений и специальностей при изучении темы «Дифференциальные уравнения», как правило, ограничен рассмотрением обыкновенных дифференциальных уравнений, и совершенно несправедливо дифференциальные уравнения в частных производных остаются в стороне. Именно последние представляют наибольший интерес, поскольку ими описываются процессы и явления, происходящие в окружающей действительности.

Так, к примеру, уравнение , где  - температура однородного тела в точке , ограниченного поверхностью  в момент времени , является уравнением теплопроводности для нестационарного случая. Если однородным телом, поглощаемым количество тепла, является стержень, то уравнение примет вид

                                                      .                                              (1)

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующие нахождение температуры стержня в точке в зависимости от его длины.

Пример 1. Дан тонкий однородный стержень длины , изолированный от внешнего пространства и имеющий начальную температуру . Концы стержня поддерживаются при температуре, равной нулю. Определить температуру стержня в момент времени  (рис. 1) [1, с. 252].

Решение. Из условия задачи следует, что стержень ограничен с обоих концов, т.е. . Закон распределения температуры стержня описывается уравнением (1). Для нахождения температуры стержня в момент времени  применим следующие формулы:

,        где     .

Итак,

;

при  четном , при  нечетном  или ,          Следовательно,  температура стержня будет определяться функцией

,

являющейся решением уравнения (1) при заданных начальных и граничных условиях.

Пример 2. Имеется однородный полубесконечный стержень, левый конец которого поддерживается нулевой температурой. Найти закон изменения температуры в момент времени , если в начальный момент времени температура изменялась по закону: , причем (рис. 2).

Решение. Закон изменения температуры стержня задается уравнением (1). В случае ограниченности стержня с одной стороны, температуру можно найти по формуле

.

В нашем случае .

Применяя подстановки:  и и учитывая, что  , где  – функция Лапласа, окончательно получим:

.

Пример 3. Имеется однородный бесконечный стержень, температура которого в начальный момент времени изменялась по прямолинейному закону от точки  к точке . Определить, по какому закону изменялась температура стержня при , если закон изменения ее описывается уравнением  (рис. 3).

В начальный момент времени температура изменялась по закону

.

В случае бесконечного стержня температуру стержня можно найти по формуле:

.

Следовательно,

Рассмотренные задачи были придуманы нами, что послужило толчком для творческого развития студентов, их мышления, внимания, а также применения ими ранее изученных математических методов.

Подведя итоги, необходимо заметить, что в данной статье мы ограничились рассмотрением уравнения теплопроводности для нестационарного случая. В дальнейшем мы намерены исследовать уравнение для стационарного случая.

Список литературы:

1. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 2: Учеб. пособие для студентов втузов. -3-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. школа,1980. – 365 с.