ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПАКЕТА GEOGEBRA В ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ»

Математическая подготовка студентов-бакалавров направления «Педагогическое образование: Информатика» осуществляется в рамках дисциплин «Математический анализ и дифференциальные уравнения», «Алгебра и геометрия», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Абстрактная и компьютерная алгебра» и др. относящихся к профильному модулю «Математика». Успешное освоение их содержания является необходимых условием готовности использовать математические знания в профессиональной деятельности. Математические дисциплины способствуют формированию у будущих выпускников педагогического направления математической культуры. Существуют определенные проблемы в освоении этих дисциплин студентами-бакалаврами педагогического направления.

Исследование сосредоточено на следующих аспектах обучения дифференциальной геометрии:

- восприятие обучающимися понятия огибающей и основные проблемы ее восприятия и понимания;

- пути преодоления затруднений в вузовском курсе высшей математики;

- использование информационных технологий в решении данных проблем.

Дифференциальная геометрия изучает геометрические образы – кривые, поверхности и.т.д., опираясь на аналитическую геометрию и широко применяя методы математического анализа [4, с. 13]. Кривые, поверхности относятся к абстрактным понятиям, поэтому с трудом воспринимаются обучающимися. Компьютерная графика позволяет возможность увидеть объекты и понятия не только в статическом, но и в динамическом состоянии, провести исследование свойств при помощи интерактивной модели.

Огибающей семейства линий называется такая линия, которая в каждой точке касается некоторой линии семейства [3, с. 318]. Семейства кривых и прямых линий изучаются при освоении геометрии кривых. Образцами являются семейства нормалей кривой или семейство лучей, возникающее при отражении от кривого пучка прямых. Множество линий называется однопараметрическим семейством линий, лежащих в плоскости, называется множество линий, определяемое уравнением , в котором параметр  может принимать различные действительные значения [3, с. 318], если каждой линии можно поставить в соответствие определенное число  таким образом, чтобы непрерывному изменению параметра  соответствует.  Множество всех точек, удовлетворяющих системе уравнений ,  называется дискриминантной линией семейства [3, с. 318].

В настоящее время широкое распространение получил термин «визуальное мышление», т. е. зрительно-наглядное, так как ученые доказали, что 60-80% информации люди усваивают через зрительный канал. Так и предмет математики не остается в стороне. Как говорил К. Гаусс: «Математика – наука не столько для ушей, сколько для глаз».

В.П. Зинченко и Н.Ю. Вергилес так определяют понятие визуального мышления: «Визуальное мышление – это человеческая деятельность, продуктом которой является порождение новых образов, создание новых визуальных форм, несущих определённую смысловую нагрузку и делающих знание видимым» [2, с. 17].

Это и есть «визуальное» мышление, то есть мышление посредством визуальных операций. Другими словами, визуальные образы являются не иллюстрацией к мыслям автора, а конечным проявлением самого мышления. В отличие от обычного использования средств наглядности, работа визуального мышления есть деятельность разума в специальной среде, благодаря которому и становится возможным осуществить перевод с одного языка предъявления информации на другой, осмыслить связи и отношения между ее объектами. А.Р. Лурия, исследуя познавательные процессы, выделил «ум, который работает с помощью зрения, умозрительно» [6, с 1].

И так, визуальное мышление — это умственная деятельность, в основе которой лежит оперирование наглядными графиками, пространственно структурированными схемами. Является разновидностью рационального постижения существенных связей и отношений вещей и дополняет вербальное мышление. Способно отражать любые категориальные отношения реальности (пространственно-временные, атрибутивные, каузальные, телеологические и др.), но не через обозначение этих отношений словом, а посредством их воплощения в трансформированную чувственность - в форме зримого явления сущность.

Визуализированные задачи позволяют передать информацию об учебных возможностях, определённых особенностях умственной деятельности студентов и тем самым служат инструментарием для диагностики учебных и личностно значимых качеств, а также являются одними из основных инструментов реализации когнитивно-визуального подхода к обучению математике [5, с. 3].

Использование пакета GeoGebra в изучении раздела «Огибающая семейства кривых», может быть представлено, как процесс, состоящий из трех основных этапов, характеризуемых достижением различных уровней овладения и разной степенью интеграции смысловых значений, входящих в содержание субъектного и социокультурного опытов:

1. Этап обучения эмпирической проверке геометрических утверждений. Студент-бакалавр будет опираться на субъектный опыт, связанный с наглядностью;

2. Этап обучения логическому контролю правильности алгоритма построения динамического чертежа для целей контрольного компьютерного эксперимента. Студент-бакалавр будет опираться на субъектный опыт и правильность построения алгоритма;

3. Этап обучения дедуктивным методом. Студент логически сводит и преобразовывает формулы к истинным утверждениям, с помощью освоенных приемов и дедуктивного вывода.

Приведем пример решения задачи, который показывает наглядность пакета GeoGebra, необходимость и целесообразность ее применения в обучении студентов.

Задача. Найти огибающую окружностей, пространственных и главных хордах параболы  (1) [3, с. 142].

Решение задачи в программе GeoGebra.

Создадим число  (2) и запишем уравнение параболы в строке ввода формулу

Рисунок 1. Построение параболы.

Центр окружности, очевидно, лежит на оси х. Величина диаметра окружности будет равна , т.е. удвоенной ординате параболы. Следовательно, если обозначить прописными буквами  текущей координаты точек окружности, то уравнение окружности представится в виде , или, следовательно, получим .

1. Откроем в программе модуль «Cas» и запишем формулу

2. Заменим  на , где ;
3. Вычислим уравнение, получим .

Рисунок 2. Нахождение центра окружности.

Найдем производную , получим .

1. Вычислим уравнение , которое преобразуется в

Рисунок 3. Нахождение производной функции.

2.  заменим  на , получим

3. Вычислим уравнение , получим

4. Заменим  на , где (2), получим уравнение

Вытащим за скобки , полученное уравнение запишем в строке ввода

 , .

Рисунок 4. Решение уравнения.

Характеристические точки действительны только в том случае, если , запишем в строке ввода и получим заштрихованную часть уравнения. Следовательно, центр окружности , а радиусом окружности является , .

Рисунок 5. Центр окружности.

Уравнение параболы, конгруэнтно первоначальной параболе , но сдвинутой влево на отрезок . Для этого следует создать радиус  и количество n точек со сдвигом  направо.

Создадим списки:

1, Последовательность точек записывается по формуле.

;

2. И наконец, создадим множество окружностей называемой однопараметрическим;

Рисунок 7.Огибающая окружностей, пространственных и главных хордах параболы.

Для нахождения центра окружности (рис. 1-6) используется формула окружности , где  текущей координаты точек окружности, так как, изначально нам не заданы координаты окружности, и с помощью дедуктивного метода и логического построения алгоритма, опираясь на субъектном опыте, решается, где находится окружность.

Когнитивно-визуальный подход предполагает создание обучающей среды, в которой внимание акцентируется на использовании визуального мышления студентов [5, с. 2], программы динамической математики как нельзя лучше подходят в качестве таких учебных сред. Интерактивная геометрическая система GeoGebra передает визуальное и пространственное представление различных пространственных геометрических фигур. Дидактические возможности компьютерного математического пакета GeoGebra позволяют решать задачи по таким разделам как алгебра, планиметрия, стереометрия и др. Динамическая система как компьютерный инструментарий моделирования является эффективным средством формирования умений и навыков студентов-бакалавров педагогического направления.

Список литературы:

1. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричикова Е.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Бричикова. 1999. – Мн.: ТетраСистемс. – 640 с.
2. Зинченко В.П., Вергилес Н.Ю. Формирование зрительного образа. Исследование деятельности зрительной системы. – М.: Изд-во МГУ, 1969.
3. Фиников С.П. Курс дифференциальной геометрии / С.П. Фиников. – М.: КомКнига, 2006. – 344 с.
4. Бикмуллина. А.Р. Огибающие // [Электронный ресурс]. – 2015. URL: http://kpfu.ru Казань. – 34 c.
5. Далингер. В.А. Когнитивно-визуальный подход и его особенности в обучении математике // [Электронный ресурс]. – 2006. URL: http://omsk.edu/article/vestnik-omgpu-151.pdf.
6. Лаврентьев. Г.В., Лаврентьева. Н.Б., Неудахина Н.А. Визуальное мышление и проблемы восприятия и понимания учебной информации//[Электронный ресурс]: URL: http://www2.asu.ru/cppkp/index.files/ucheb.files/innov/Part2/ch8/glava_8_2.html