Статья опубликована в рамках: XXXVIII Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов XXI столетия. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ НАУКИ» (Россия, г. Новосибирск, 12 января 2016 г.)
Наука: Экономика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
- Условия публикаций
- Все статьи конференции
дипломов
О РАВНОВЕСИИ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕКТОРЫ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПРОИЗВОДСТВА
О РАВНОВЕСИИ ИНТЕРВАЛЬНОЙ МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕКТОРЫ ИНТЕНСИВНОСТЕЙ ПРОИЗВОДСТВА
Козловская Яна Игоревна
магистрант 2 курса, кафедра прикладной математики, ПНИПУ, РФ, г. Пермь
E-mail:
Севодин Михаил Алексеевич
научный руководитель, к.ф.-м.н., доцент кафедры прикладной математики, ПНИПУ, РФ, г. Пермь
В экономике часто возникает задача нахождения равновесного состояния экономики ([1]-[4], [6]). При этом главным вопросом считается нахождение параметров экономической системы, соответствующих этому равновесному положению. Наряду с этим необходимо иметь в виду, что возможны ограничения на технологические множества, задающие интенсивности производственных отраслей [7], [8].
В данной работе исследуется случай, при котором ограничения на технологическое множество заданы в виде выпуклого конуса. Так как векторы цен и векторы интенсивностей модели взаимосвязаны, из ограничений вектора интенсивностей вытекает ограничение вектора цен. При этом векторы цен ограничиваются конусом, в некотором смысле симметричным к конусу, ограничивающему интенсивности производства. В более ранних работах [7], [8] этот факт не рассматривался. Кроме того, в работе дается оценка положения равновесия модели при условии, что производственная матрица задается с помощью интервальных чисел [5]. Такая оценка получается с помощью перехода к оптимизационным задачам.
Модель Леонтьева определяется матрицей [2], [7]. Пусть - неразложима и примитивна. Пусть - вектор интенсивностей, - вектор цен. Тогда динамическое равновесие модели задается соотношениями [2]:
. (1)
Здесь - единичная матрица, - положительное число.
Предположим, что вектор принадлежат не всему [6], а выпуклому многогранному конусу с матрицей [4], т.е. . Причем , и матрицы и коммутативны. Пусть имеет обратную матрицу . Обозначим через конус, причем . Имеет место
Теорема 1. Пусть в неотрицательной матрице нет нулевых строк. Тогда существует решение системы (1) .
Доказательство. Опишем подробно переход от неравенства , к неравенству , [2].
Обозначим . Тогда неравенства
(2)
при подстановке равносильны неравенствам:
Поэтому
Таким образом, неравенства (2) эквивалентны неравенствам
. (3)
Система (3) соответствует модели Неймана , и, значит [2], имеет решение. Так как (3) эквивалентна (2), то и (2) имеет решение. Справедливость третьего соотношения в (1) устанавливается аналогично. Теорема доказана.
Общим положением равновесия модели Леонтьева с производственной матрицей и матрицей ограничений назовем решение системы (2) , соответствующее решению системы (1).
Частные положения равновесия с соответствующими экстремальными значениями можно найти, перейдя к оптимизационным задачам [1]:
(4)
(5)
Числа и называются числами Неймана и Фробениуса и определяют максимальный и минимальный темп равновесного роста модели соответственно.
Заметим, что все элементы матрицы неотрицательны (). Из однородности задачи следует, что можно ограничиться случаем, когда векторы и принадлежат симплексам. При введении в систему матрицы однородность сохраняется, поэтому по-прежнему можно считать, что , и , . Здесь .
Тогда из (4) и (5) следует, что для нахождения набора параметров продуктивности модели и ее положения равновесия следует решить оптимизационную задачу вида [5]:
(6)
(7)
В этом случае можно получить оценки положения равновесия моделей при интервальном описании матрицы .
Интервальной назовем модель Леонтьева (2) с матрицей затрат . Здесь – матрица центров интервалов матрицы; - матрицы точных верхних и нижних граней соответственно [5].
Теорема 2. Если в модели Леонтьева с интервальной матрицей и ограничением в виде выпуклого конуса с матрицей , матрица принадлежит классу средних матриц с , и точечная матрица удовлетворяет условию , то .
Доказательство. Из (6) и (7) при замене следует, что для нахождения параметров равновесия модели с точечной матрицей следует решить задачу:
Используем условие . Тогда:
. (8)
Задача (8) позволяет найти параметры равновесия точечной модели с матрицей . Учитывая замену переменных, делаем вывод, что набор определяет положение равновесия модели с матрицей .
Теорема 2 показывает, что если неопределенность матрицы состоит в незнании , то можно найти с использованием матрицы центров интервалов.
Теорема 3. Пусть модель Леонтьева задана интервальной матрицей и ограничением в виде выпуклого конуса с матрицей . Пусть также для точечной матрицы выполнены условия: ,
, (9)
, (10)
. (11)
Тогда .
Доказательство аналогично [5] и основывается на заменах и подстановке их в (9), а также использовании условий (10) и (11).
Список литературы:
1. Альсевич В. В. Введение в математическую экономику. Конструктивная теория. / Альсевич В. В. – М.: Едиториал УРСС, 2005. - 256 с.
2. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике / Ашманов С.А. – М. ОНИКС, 2012. – 199 с.
3. Макаров В. Л. Математическая теория экономической динамики и равновесия / Макаров В. Л., Рубинов А. М. – М.: Наука, 1973.–335 с.
4. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика / Никайдо Х. – М.: Мир, 1972. 519 с.
5. Панюков А. В., Латипова А. Т. Оценка положения равновесия в модели Неймана при интервальной неопределенности исходных данных//Вестник УГАТУ.-2008, - т.10, №2(27), - С. 150-153.
6. Рубинов А. М. Экономическая динамика // Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики» М., 1982. № 19. – с. 59–110.
7. Севодин М. А. Динамические системы леонтьевского типа с ограничениями на интенсивности технологических процессов // Наука и бизнес: пути развития.- 2013,- № 8, - С. 66-70.
8. Севодин М. А. Модель Неймана с ограничениями пропорций роста интенсивностей производственных процессов // Современные проблемы науки и образования.-2013,-№6. Режим доступа: http://www.science-education.ru/pdf/2014/1/268.pdf
дипломов