МОДЕЛИРОВАНИЕ  И  ПРОГНОЗИРОВАНИЕ  КАПИТАЛОВООРУЖЕННОСТИ  НА  ОСНОВЕ  АНАЛИЗА  ДИНАМИКИ  ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ  ФАКТОРОВ

Бибиков  Ростислав  Александрович

студент  5  курса,  кафедры  ЭиСМ  СПб  ИТМО,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

E -mail: 

Королева  Лада  Александровна

научный  руководитель,  канд.  экон.  наук,  доцент  кафедры  ЭиСМ  СПб  ИТМО,  РФ,  г.  Санкт-Петербург

Капиталовооруженность  (capital-labor  ratio)  имеет  большое  значение  в  исследованиях  процессов  экономического  развития  и  экономического  роста,  так  как  показывает  соотношение  двух  важных  факторов  производства  (рассчитывается  как  отношение  объема  капитала  к  количеству  занятых  в  экономике).

Этот  показатель  может  быть  использован  в  анализе  сбалансированности  объемов  этих  ресурсов,  поиске  оптимального  их  сочетания  с  точки  зрения  достижения  максимальной  эффективности  их  использования.  Для  моделирования  дополнительно  третьим  фактором  может  быть  выбран  объем  инвестиций  в  реальную  экономику,  что  освязано  с  мультикативным  характером  воздействия  прироста  инвестиций  на  экономический  рост,  а  также  тем,  что  инвестиции  —  финансовый  ресурс,  претерпевающий  разные  по  срокам  реализации  виды  трансформации  в  основной  и  оборотный  капитал.

В  соответствии  с  задачей  исследования  была  построена  трехфакторная  модель  капиталовооруженности  по  принципу  производственной  функции  Кобба-Дугласа,  которая  подтверждает  зависимость  капиталовооруженности  труда  (CLn)  от  величины  основного  капитала  (Cn),  от  количества  занятых  экономической  деятельностью  (Ln)  и  величины  инвестиций  в  основной  капитал  (In)  вида: 

СLn  =C^α*L^β*I^ϒ  (1)

Самой  известной  макроэкономической  моделью  роста  совокупного  дохода  является  модель  экономического  роста  Солоу,  на  основе  производственной  функции  вида  Y=F(K,L,E),  где  K  —  капитал,  L  —  труд,  E  —  показатель,  характеризующий  эффективность  труда  (зависит  от  квалификации,  уровня  образования  работника  и  других  факторов).

Итак  объясняющими  переменными  в  построении  модели  выбраны  капитал,  количество  занятого  населения  и  уровень  инвестиций  в  основной  капитал.  Статистические  данные  аккумулированы  в  таблице  1.

Таблица  1.

Динамика  макроэкономических  показателей  России  за  2004—2013  гг.

Примечание:  Составлено  по  данным  Росстата  [1;  2]

Уравнение  тренда  имеет  вид:

CL  =  199,3067+163,367t  (2)

Для  определения  тесноты  связи  объясняемой  и  объясняющих  переменных,  были  вычислены  коэффициенты  корреляции  r_YX  по  формуле  расчета  коэффициента  корреляции:

  (3),

где:    —  среднее  значение  объясняемой  переменной,

_j  —  среднее  значение  объясняющей  переменной.

Результаты  расчетов  по  формуле  2  представлены  в  таблице  2.

Таблица  2.

Корреляционная  таблица

Полученные  коэффициенты  математически  подтверждают  очевидную  тесную  связь  между  капиталовооруженностью  труда  и  выделенными  факторами.  Далее  уравнение  CLn  =  C^α*L^β*I^ϒ  было  прологарифмировано,  построена  производственная  функция  для  капиталовооруженности.  Преобразованные  исходные  данные  представлены  в  таблице  3.

Таблица  3.

Исходные  данные  после  логарифмирования

После  потенцирования  была  получена  трехфакторная  производственная  модель  следующего  вида:  CL  =  C^0,01443*L^0,00057*I^-0,0000063  (4)

В  таблице  4  представлены  эконометрические  характеристики  регрессионной  модели.

Таблица  4.

Эконометрические  характеристики  регрессионной  модели

Значимость  уравнения  регрессии  проверялась  на  основе  F-критерия  Фишера  и  проверки  неравенства  Fрасч.>Fтабл:

  (5)

Расчетное  значение  Fрасч.  =  32457,94,  табличное  значение  F-критерия  при  доверительной  вероятности  0,95  и  числе  степеней  свободы  g₁  =  k  =  3  и  g₂  =  n-k-1  =  10-3-1  =  6  составляет  4,76.  Таким  образом,  32457,94>4,76  —  заявленное  неравенство  выполняется,  следовательно,  уравнение  регрессии  является  адекватным.

Из  таблицы  видно,  что  множественные  коэффициенты  корреляции  и  детерминации  R=0,99996;  R²=0,99992)  подтверждают  наличие  тесной  связи  между  всеми  признаками.  Около  99,992  %  вариации  зависимой  переменной  (капиталовооруженность  труда)  учтено  в  модели  и  обусловлено  влиянием  включенных  в  нее  факторов  и  на  0,008  %  —  других  факторов,  не  включенных  в  модель.

На  следующем  этапе  была  оценена  значимость  параметров  регрессионного  уравнения  с  помощью  t-критерия  Стьюдента.  Табличное  значение  t-критерия  при  уровне  значимости  a  =  0,05  и  числе  степеней  свободы  g  =  n-k-1  =  6  равно  2,447.  Расчетное  значение  t-критерия  для  основного  капитала  и  занятых  в  экономике  составило  32,31  и  3,87  соответственно,  по  фактору  инвестиции  оно  значительно  меньше  (-1,41).  Следовательно,  коэффициенты  регрессии  при  первых  двух  факторах  в  модели  являются  значимыми  (tрасч.>tтабл.),  а  фактор  инвестиции  в  основной  капитал  с  вероятностью  95  %  будет  незначим. 

Средняя  ошибка  аппроксимации  расчитывалась  по  формуле:

Ā  =*  ǀǀ          (6)

Для  нашей  модели  Ā=0,718  %,  следовательно,  в  среднем  теоретические  значения  ŷ  отклоняются  от  фактических  y_i  всего  на  0,718  %,  что  позволяет  сделать  вывод  о  нахождении  нами  качественной  модели.

Для  получения  более  оптимальной  и  значимой  эконометрической  модели,  фактор  «инвестиции»  из  модели  был  исключен,  и  путем  аналогичных  вычислений  была  построена  новая  модель:

CL  =  C^0,01382*L^0,00509  (7)

Адекватность  и  значимость  полученной  модели  подтверждается  ее  эконометрическими  характеристиками:  R=0,999954,  R²=0,999908,  расчетное  значение  F-критерия:  Fрасч  =43277,13,  а  t-критерия:  t_K=112,2093;  t_L=3,40888.  Высокое  значение  коэффициентов  регрессии  и  детерминации,  а  также  расчетные  значения  критерия  Фишера  и  критерия  Стьюдента,  превышающие  табличные  значения  (Fтабл.=4,35,  tтабл.=2,365)  с  вероятностью  95%,  свидетельствуют  об  адекватности  построенной  модели.  Включенные  в  модель  факторы  в  сумме  объясняют  более  99%  вариации  капиталовооруженности  труда.

Сравнить  влияние  на  зависимую  переменную  объясняющих  факторов  можно  с  помощью  расчета  коэффициента  эластичности  Э_j  (j=1,2),  расчитанного  по  формуле:

Э_j=b_j*  (_j/)  (8),

где:  b_j  —  коэффициент  регрессии  фактора  j;

  —  среднее  значение  результативного  признака;

_j  —  среднее  значение  признака  j.

Э_C=0,0182*(11,143/6,902)  =  0,0223

Э_L=0,00509*(11,149/6,902)  =  0,0082

Коэффициенты  эластичности  показывают,  что  увеличение  объема  основного  капитала  на  1  %  вызовет  увеличение  уровня  капиталовооруженности  труда  на  0,0223  %,  а  при  увеличении  занятости  трудовой  деятельностью  на  1  %  результативный  признак  возрастет  на  0,0082  %.  Следовательно,  влияние  фактора  занятости  на  капиталовооруженность  труда  в  2,7  раза  больше,  чем  влияние  фактора  основной  капитал.

Таким  образом,  мы  построили  количественно  оценили  зависимость  капиталовооруженности  труда  от  трех  факторов:  основной  капитал,  занятость  населения  и  инвестиции.  В  ходе  исследования  фактор  инвестиций  оказался  незначим,  и  его  исключили  из  модели.  По  фактическим  данным  мы  оценили,  как  изменяется  величина  результативного  признака  во  времени,  выявили  основную  тенденцию  и  построили  уравнение  тренда:  СL  =  199,3067+163,367t.  Рассмотрели  параметры  данного  уравнения  и  проверили  его  адекватность.

Используя  методы  корреляционно-регрессионного  анализа,  мы  получили  эконометрическую  модель  зависимости  капиталовооруженности  труда  от  объема  основного  капитала  и  числа  занятых  в  экономике:  CL  =  C^0,01382*L^0,00509.  Построенная  модель  служит  базой  для  дальнейшего  анализа  и  прогнозирования  динамики  капиталовооруженности  труда  на  основе  корреляционно-регрессионного  анализа.

Используя  методы  корреляционно-регрессионного  анализа,  мы  получили  эконометрическую  модель  зависимости  капиталовооруженности  труда  от  объема  основного  капитала  и  числа  занятых  в  экономике:  Y  =  K^0,01382*L^0,00509.  Построенная  модель  служит  предпосылкой  для  дальнейшего  анализа  и  прогнозирования  динамики  капиталовооруженности  труда  на  основе  корреляционно-регрессионного  анализа.

Прогнозирование  факторных  признаков  на  2014—2018  гг.  проводилось  на  основе  авторегрессионной  модели,  в  связи  с  чем  значения  объясняющих  переменных  были  представлены  в  виде  временного  ряда.  В  таблице  5  приведены  данные,  отражающие  изменение  основного  капитала  и  занятых  в  экономике  с  2004  по  2013  гг.

Таблица  5.

Временной  ряд  для  построения  прогноза  факторных  признаков

По  данным  таблицы  были  постороены  авторегрессионные  модели  первого  порядка  для  двух  факторов  производственной  функции.  Для  построения  авторегрессионной  модели  первого  порядка  AR  была  использована  формула:

  (8)

Авторегрессионная  модель  для  капитала  :

К_n  =  1,147*K_n-1       (9)

Ежегодный  рост  объема  основного  капитала  составляет  14,7  %.  Модель  является  значимой  согласно  своим  эконометрическим  характеристикам:  R²  =  0,9987,  Fрасч.  =  3086,654,  tрасч.  =  55,56,  P<0,05.

По  фактору  занятое  население  мы  получили  авторегрессионную  модель  вида:

L_n  =  1,00695*L_n-1  (10)

За  исследуемый  период  ежегодный  прирост  занятого  населения  согласно  построенной  модели  составил  0,695  %.  Значимость  авторегрессионной  модели  подтверждают  следующие  ее  характеристики:  R²  =  0,9999,  Fрасч.  =  55132,44,  tрасч.  =  234,803,  значимое  P.

Для  того,  чтобы  сделать  прогноз  на  основе  моделей  (9  и  (10)  использовалась  программа  MS  Excel.  Прогноз  был  составлен  на  5  лет.

Прогнозное  значение  капитала  в  2014  году  мы  можем  найти  по  авторегрессионному  уравнению  (9):

К₁₁=  1,147*К₁₀  =  153895,9  (млн.  руб.).

Аналогично  находим  прогнозные  значения  основного  капитала  для  2015—2018  гг.:

К₁₂=  1,147*К₁₁  =  173611,2  (млн.  руб.)

К₁₃=  1,147*К₁₂  =  195788,7  (млн.  руб.)

К₁₄=  1,147*К₁₃  =  220922  (млн.  руб.)

К₁₅=  1,147*К₁₄  =  249286,6  (млн.  руб.)

Полученные  данные  позволяют  вычислить  величину  предельной  ошибки  прогноза,  ее  значение  мы  найдем  по  формуле:

  (11), 

где:  t_кр.  —  табличное  значение  коэффициента  Стьюдента  для  уровня  значимости  α=0,05  и  числа  степеней  свободы  ϒ=n-k-1; 

S_ост.  —  стандартная  ошибка  прогноза,  полученная  по  уравнению  тренда; 

х_пр.  —  прогнозное  значение  фактора  х_i; 

Х  —  матрица  значений  фактора  х_i.

Для  фактора  основной  капитал  t_кр.  =  2,228,  S_ост.  =  4755,9,  а  для  фактора  занятые  в  экономике  получены  следующие  значения  переменных  t_кр.  =  2,228,  S_ост.  =  891,6.

Таким  образом,  были  найдены  прогнозные  значения  основного  капитала  и  занятых  в  экономике  по  соответствующим  уравнениям  тренда  и  предельная  ошибка  прогноза  на  2014—2018  гг.  В  2014  году  по  капиталу  К_пр  =  153985,9  млн.  руб.  и  по  занятым  L_пр  =  72042,2  тыс.  чел.  Предельная  ошибка  полученного  прогноза  по  формуле  (1.9)  составила  8224,5  млн.  руб.  (5,4  %)  по  капиталу  и  1257,9  тыс.  чел.  (1,7  %)  по  занятым  экономической  деятельностью.

Однако  вероятность  осуществления  точечного  прогноза  практически  равна  нулю.  Поэтому  далее  на  основе  полученных  по  трендовому  уравнению  прогнозных  значений  фактора  был  вычислен  доверительный  интервал,  который  показал,  что  величина  отклонения  результата  от  значения,  полученного  по  точечному  прогнозу,  не  превышает  предельную  ошибку:

ϒ_ŷпр  =  ŷ_пр±Δŷ_пр  (12)

Кроме  того,  для  проведения  дальнейших  расчетов  учитывалось,  что  значения  фактора,  взятые  для  построения  тренда,  соответствуют  исходным  данным  с  лагом  1,  и  после  того,  как  мы  рассчитали  по  ним  прогноз,  можем  утверждать,  что  и  они  имеют  некое  отклонение  от  тренда.  Исходя  из  этого,  было  спрогнозировано  и  отклонение  следующего  значения  переменной  от  тренда  после  вычисления  поправочного  прогнозного  отклонения  по  формуле  (13)  и  затем,  самого  прогнозного  значения  с  учетом  поправки  п  оформуле  (14).

,    (13)

        (14)

С  полученными  данными  на  2014-2018  гг.  можно  ознакомиться  в  таблицах  6,  7,  8.

Таблица  6.

Прогнозные  значения  факторов  основной  капитал  и  занятые  в  экономике  в  2014—2018  году

Таблица  7 .

Доверительный  интервал  для  фактора  основной  капитал,  млн.  руб.

Таблица  8 .

Доверительный  интервал  для  фактора  занятые  в  экономике,  тыс.  чел.

Подводя  итог  вышеизложенному  отметим,  что  с  вероятностью  95  %  величина  основного  капитала  в  2014  году  будет  находиться  в  интервале  от  145761,4  до  162210,4  млн.  руб.,  занятых  в  экономике  —  от  70784,35  до  73300,1  тыс.  чел.  соответственно.  Прогнозные  значения  по  факторам  в  2014  году  попадают  в  свои  доверительные  интервалы  и  составят:  К  =  151323,9  млн.  руб.,  L  =  72096,36  тыс.  чел.

По  найденным  трендовым  значениям  труда  (количества  занятых)  и  капитала  расчитан  прогноз  для  капиталовооруженности  труда.  В  2014  году  показатель  капиталовооруженности  труда  будет  равен  3368,1  млн.  руб.,  а  предельная  ошибка  составит  366,67  млн.  руб.

Доверительный  интервал  для  капиталовооруженности  труда  по  соответствующим  прогнозным  значениям  факторов  найден  при  включении  в  модель  фактора  времени  t.

Для  дальнейших  расчетов  будем  использовать  линейные  модели  следующего  вида:

Kt  =  1710,7  +  16183,7  *  t   (15)

Lt  =  67330,4  +  493,6  *  t               (16)

На  следующем  этапе  были  найдены  прогнозные  значения  результативного  признака  с  учетом  поправки  для  2014  года  и  последующих  2015—2018  г.  Результаты  представлены  в  таблице  10.

Таблица  10.

Результаты  прогнозирования  капиталовооруженности  труда  на  2014—2018  гг.  по  авторегрессионной  модели

Прогнозирование  капиталовооруженности  труда  было  проведено  на  основе  нелинейной  модели  вида  Y  =  K^0,01382*L^0,00509.  Значение  капиталовооруженности  труда  к  2018  году  достигнет  5369  млн.  руб.  по  трендовому  уравнению,  что  примерно  в  3  раза  больше,  чем  в  2013  году.  При  благоприятной  экономической  ситуации  в  стране  уровень  капиталооворуженности  труда  может  приблизиться  к  отметке  в  6152,3  млн.  руб.  (рост  в  3,3  раза  относительно  2013  года),  а  при  неблагоприятной  —  к  4586,87  млн.  руб.  (увеличение  в  2,5  раза  к  2013  году).

Список  литературы:

1.Российский  статистический  ежегодник.  2010:  Стат.сб./Росстат.  М.,  2010.  —  813  с.

2.Российский  статистический  ежегодник.  2014:  Стат.сб./Росстат.  М.,  2014.  —  693  с.

3.Христиановский  В.В.,  Щербина  В.П.  Экономико-математические  методы  и  модели:  теория  и  практика.  Учебное  пособие.  Донецк:  ДонНУ,  2010.  —  336  с.