ИССЛЕДОВАНИЕ ХАОТИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ОДНОМЕРНОГО ЭКОНОМИЧЕСКОГО ВРЕМЕННОГО РЯДА С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ДЕКОМПОЗИЦИИ С ЦЕЛЬЮ ПОВЫШЕНИЯ ТОЧНОСТИ ПРОГНОЗА

В настоящее время задача прогнозирования различных временных рядов чрезвычайно актуальна, она является неотъемлемой частью ежедневной работы многих компаний и реализуется обычно на основе изучения временных рядов.

Зависящая от времени реализация, дискретизированная с некоторым шагом Δt, называется одномерным временным рядом (ОВР) [1,3,4,5] и имеет следующий вид:

                                                                                                           (1)

         где i = 1,…,N ;

         N – количество элементов х временного ряда или его длина.

Экономическое прогнозирование, в общем смысле, это система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тенденций развития экономических показателей в будущем.  Современное общество постоянно испытывает необходимость в прогнозировании. Например, чтобы выработать правильную политику, члены правительства должны прогнозировать уровни безработицы, инфляции, промышленного производства, налога на прибыль отдельных лиц и корпораций.

Теория хаоса, в свою очередь, предлагает совершенно новые концепции и методы для анализа временных рядов, которые могут привести к более глубокому и полному пониманию раскрытых ими процессов.

Изучение временных рядов отличается от других задач анализа данных как кругом вопросов, интересующих исследователя, так и методами, которые используются при анализе. Так наука об изучении временных рядов - анализ временных рядов, - формирует самостоятельную и достаточно широкую область знаний [1,5,6].

На основе проанализированной литературы сделаны вывод о том, что уровни временного ряда имеют два вида компонент - систематическую и случайную.

К систематическим комнонентам, в свою очередь, относяться:

1) Трендовая составляющая (T) - представляет собой систематическую нелинейную или линейную составляющую, постепенно изменяющуюся во времени. Эта составляющая обычно описывает влияние длительных факторов.

2) Циклическая составляющая (C) - представляет собой периодические колебания которые выходят за пределы одного года. Цикличность отражает повторяемость процессов в течение длительных периодов.

3) Сезонная составляющая (S) - представляет собой колебания уровней временного ряда с меньшей периодичностью (например, день, неделя или месяц).

Четвертой компонентой, которая может содержаться в структуре временного ряда является, так называемая, случайная величина E. Она демонстрирует резкие и неожиданные воздействия, сильно сказывающиеся на основной тенденции временного ряда и влияния текущих факторов, связанных, например, с неточностями расчетов и погрешностями измерений.

Целью декомпозиции временного ряда является выделение и визуализация случайной составляющей, которая проводится по специальному алгоритму:

1. Устранение трендовой составляющей путем отделения трендовых показателей от исходного временного ряда.

2. Устранение циклических и сезонных поправок путем отделения их от остаточного временного ряда.

На основе обработанных материалов и дальнейшего их анализа сделан вывод о том, что вероятно, после очистки ряда от систематических составляющих дальнейшая декомпозиция невозможна.

Предположим, что дальнейшее разделение возможно. Тогда, теоретически, остаточный временной ряд представляющий собой случайную компоненту E было бы целесообразно разделить еще на две компоненты:

• случайную величину в строгом смысле, которая подчиняется нормальному распределению (ξ);

• хаотическую составляющую (χ).

При таких условиях, теоретически, дальнейшая декомпозиция возможна. Тогда отделить хаотическую составляющую χ реально с помощью моделирования так называемого "белого шума".

Белый шум - это последовательность независимых (то есть статистически не связанных друг с другом) чисел. Он имеет свои определенные характеристики. Во-первых, его математическое ожидание равно нулю, во-вторых, его значение является некоррелированными.

Визуализация белого шума изображена на рисунке 1.

Рисунок 1. Процесс белого шума

Одним из методов реконструкции белого шума является модель, характеризующаяся выражением:

                                                (2)

где ε - суммарное число с гауссовского распределения;

Δt - период проведения исследований.

После моделирования процесса белого шума на основе остаточного одномерного временного ряда появляется возможность отделения хаотической составляющей с помощью вычитания показателей ряда, описывающих белый шум от остаточного ряда.

Инструментом исследования хаотического ряда являеться R/S анализ который позволяет определить наличие непереодических цыклов (квазициклов). В основе этого метода лежит алгоритм расчёта показателя Хёрста, который даёт информацию о наличии памяти (персистентности) во временном ряде.

Интерпретация показателя Херста происходит с помощью следующих логических неравенств:

• 0,5<H≤1 - исследуемый временной ряд персистентный или трендоустойчивый и характеризуется эффектом долговременной памяти;

• 0≤H<0,5 - означает, что временной ряд является антиперсистентным и в нем отсутствует эффект памяти и устойчивые тенденции;

• H = 0,5 - определяет случайный временной ряд.

Последним и одним из главных шагов является проведение процесса композиции модели.

В случае аддитивной модели прогнозная модель будет иметь следующий вид:

                                   (3)

где T - модель тренда;

S - модель сезонных колебаний;

C - модель циклических колебаний;

ξ - случайная величина, смоделированая белым шумом;

χ - хаотическая составляющая.

В случае мультипликативной модели прогнозная модель будет иметь следующий вид:

                                   (4)

После композиции модель целесообразно проверить на адекватность и оценить ее качество. Это можно сделать с помощью корреляционного отношения.

Если модель является качественной, то можно делать прогноз.

Список литературы:

1. Андерсен Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: Мир, 1976. -756 с.
2. Анищенко В.С., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. - Москва- Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 544 стр.
3. Безручко. Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 302 с. ISBN 5-94409-045-6.
4. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.
5. Орлов А.И. Прикладная статистика. Учебник. - М.: Издательство «Экзамен», 2004»» — 656 с.
6. Тюрин Ю.Н., Макаров А.А. Статистический анализ данных на компьютере / Под ред. В.Э. Фигурнова - М.: ИНФРА-М, 1998. - 528 с., ил. ISBN 5-86225-662-8.