ЗАДАЧА  ОПТИМАЛЬНОГО  ИМПУЛЬСНОГО  УПРАВЛЕНИЯ  В  МОДЕЛИ  ФИРМЫ  С  ОБУЧЕНИЕМ  РАБОТНИКОВ  НОВОЙ  ИНФОРМАЦИОННОЙ  ТЕХНОЛОГИИ

Адушинова  Наталья  Александровна

студент  5  курса,  кафедра  методов  оптимизации  ФГБОУ  ВПО  «ИГУ»,  Институт  математики,  экономики  и  информатики,  г.  Иркутск

E-mail:  actualis@bk.ru

Самсонюк  Ольга  Николаевна,

научный  руководитель.  канд.  ф.-м.  наук,  доцент,  ФГБОУ  ВПО  «ИГУ»,  Институт  математики,  экономики  и  информатики,  г.  Иркутск

Работа  выполнена  при  частичной  финансовой  поддержке  ФЦП  «Научные  и  научно-педагогические  кадры  инновационной  России»,  соглашение  8211  от  06.08.2012.

1.  Введение 

В  статье  рассматривается  частный  вариант  модели  фирмы,  выпуск  продукции  которой  зависит  от  уровня  освоения  её  работниками  новой  производственной  технологии.  Предполагается,  что  обучение  работников  происходит  как  вследствие  их  контакта  с  уже  обученными,  так  и  при  целенаправленных  действиях  со  стороны  руководства  фирмы,  допускающих  обучение  с  высокой  интенсивностью  в  течение  кратких  промежутков  времени  (например,  краткосрочные  курсы  повышения  квалификации).  Последнее  приводит  к  быстрому,  почти  скачкообразному,  увеличению  количества  работников,  владеющих  инновациями.  В  статье  исследуется  упрощенный  вариант  модели,  в  котором  объемы  основного  капитала  и  трудовых  ресурсов  не  меняются  на  рассматриваемом  промежутке  времени,  и,  как  следствие,  доход  фирмы  зависит  только  от  степени  освоения  инновационной  производственной  технологии.  Однако  предположения,  допускающие  скачкообразные  изменения  количества  обученных  работников,  приводят  к  появлению  в  этой  модели  задачи  оптимального  управления  с  разрывными  траекториями  (задачи  оптимального  импульсного  управления)  и  использованию  неклассических  методов  исследования  [1].

2.  Описание  модели

Пусть  фирма  производит  некоторый  товар,  выпуск  которого  по  традиционной  технологии  описывается  производственной  функцией    где  —  объем  основного  капитала,  —  объем  трудовых  ресурсов.  Известно,  что  использование  производственных  инноваций  может  дать  прирост  выпуска  на  величину    в  случае,  когда  все  работники  фирмы  знакомы  с  нововведениями  и  могут  их  применять.  Обозначим  через    —  объем  трудовых  ресурсов,  способных  использовать  новую  технологию.  Тогда  производственная  функция  фирмы  имеет  вид    Таким  образом,  выпуск  фирмы  складывается  из  выпуска  по  традиционному  способу  и  дополнительного  выпуска,  полученного  вследствие  применения  частью  работников  улучшенного  способа  производства.  Предположим,  что  на  рассматриваемом  промежутке  времени  величины    и    не  изменяются,  и  доход  фирмы  описывается  функцией    где    —  цена  единицы  продукции,      Уровень  освоения  работниками  фирмы  новой  технологии    может  возрастать  при  общении  работников  между  собой,  а  также  в  результате  их  обучения  со  стороны  руководства  фирмы.  Кроме  того,  часть  работников,  владеющих  новой  технологией,  утрачивает  навыки  в  результате  забывания.  Предполагается,  что  темп  забывания  постоянен  и  равен    Уравнение  динамики  имеет  следующий  вид

                (1)

                                  (2)

где    задает  текущие  усилия  руководства  фирмы,  направленные  на  обучение  сотрудников,  а    —  объем  трудовых  ресурсов,  знакомых  с  новой  технологией  в  начальный  момент  времени.  Прокомментируем  динамическую  систему  (1),  (2).  В  уравнении  (1)  первое  слагаемое  означает,  что  прирост  числа  обученных  работников  в  момент  времени    пропорционален  текущему  уровню    в  совокупности  с  усилиями  руководства  и,  кроме  того,  пропорционален  множителю    Смысл  множителя    состоит  в  том,  что  обучение  в  первую  очередь  охватывает  наиболее  заинтересованных,  расположенных  к  нему  работников,  и,  следовательно,  чем  больше  человек  уже  освоило  данную  технологию,  тем  сложнее  обучить  остальных.  Второе  слагаемое  в  (1)  характеризует  снижение  уровня    в  результате  забывания  или  утраты  навыков.

Все  параметры  в  (1),  (2)  неотрицательны  и  имеют  следующий  смысл:    характеризует  эффективность  внутреннего  взаимодействия  сотрудников,    —  эффективность  обучения  при  применении  единицы  усилий  со  стороны  руководства,    —  темп  забывания,    —  уровень  освоивших  новую  технологию,  при  котором  происходит  наиболее  эффективное  обучение  работников. 

Рассмотрим  уравнение  (1)  при  отсутствии  внешнего  обучения,  т.  е.  при  Запишем  (1)  в  следующем  виде 

Здесь    задает  функцию  роста  трудовых  ресурсов,  владеющих  новой  технологией.  График    при  значениях  параметров        приведен  на  Рис.1,  где  ,  ,  .  Охарактеризуем  функцию    на  промежутках        и 

Рисунок  1.  График  функции  f(x)  при  a  =  10,  m  =  30,  b  =  0,1

·     При  начальном  небольшом  количестве  работников,  владеющих  новой  технологией,  т.  е.    скорость  освоения  новой  технологии  возрастает,  что  объясняется  интересом  к  ней  наиболее  активных  и  любознательных  работников.  Таким  образом,    отражает  уровень,  соответствующий  максимальной  скорости  обучаемости  работников.  Функция    на  промежутке    возрастает  и  является  вогнутой.

·     При    скорость  обучения  путем  взаимодействия  работников  друг  с  другом  (внутреннее  обучение)  снижается,  поскольку  теперь  в  этот  процесс  вовлекаются  менее  заинтересованные  слои  трудового  коллектива.  При  этом  с  каждым  дополнительным  работником,  освоившим  технологию,  происходит  большее  замедление  скорости  внутреннего  обучения.  Здесь,  функция    убывает  и  является  вогнутой.

·     При    в  обучение  вовлекаются  еще  более  инертные  слои.  Функция    убывает  и  является  выпуклой.  Скорость  обучения  не  высока,  и  каждому  дополнительному  обученному  работнику  соответствует  меньшее  ее  снижение. 

·     При  скорость  внутреннего  обучения  отрицательна.  Величина  характеризует  объем  трудовых  ресурсов,  не  проявляющих  самостоятельного  интереса  к  инновациям  или  не  способных  к  самообучению.

На  Рис.  2  и  3  приведены  результаты  качественного  исследования  уравнения  (1)  при  и  набросок  семейства  интегральных  кривых.  Для  любого  начального  условия    интегральные  кривые  при    стремятся  к  уровню  насыщения 

Рисунок  2.  Фазовый  портрет

Рисунок  3.  Семейство  интегральных  кривых

Введение  внешнего  обучения  в  уравнение  (1)  позволяет  увеличить  уровень  насыщения  и,  тем  самым,  добиться  того,  чтобы  новой  технологией  овладело  большее  число  работников,  что  приведет  к  увеличению  выпуска  продукции  и  дохода.  Суммарный  доход  фирмы  описывается  интегралом    где    —  текущие  затраты  фирмы,  направленные  на  обучение  работников,    —  горизонт  планирования. 

Рассмотрим  задачу  выбора  такой  стратегии  обучения  ,  при  которой  суммарный  доход  фирмы  будет  наибольшим,  т.  е. 

                (3)

Задача  (1)—(3)  является  задачей  оптимального  управления,  в  которой    —  траектория,  а    —  управление.  Особенность  этой  задачи  состоит  в  том,  что  управление    входит  в  правую  часть  уравнения  динамики  (1)  линейно  и  не  является  ограниченным  сверху.  Это  означает,  что  хотя  суммарные  расходы,  затрачиваемые  руководством  фирмы  на  обучение  персонала,  ограничены,  но  их  интенсивность  может  быть  сколь  угодно  большой  в  течение  краткого  промежутка  времени,  т.  е.  допускается  в  некотором  смысле  «агрессивное»  обучение,  приводящее  к  почти  скачкообразным  изменениям  уровня  освоения  новой  технологией.  Указанная  особенность  приводит  к  тому,  что  в  классе  кусочно-непрерывных  управлений  данная  задача  не  имеет  решения. 

Будем  рассматривать  задачу  (1)—(3)  в  расширенной  постановке,  учитывающей  возможность  «агрессивного»  обучения  и  скачки  уровня    Соответствующая  задача  оптимального  управления  с  разрывными  траекториями  описывается  следующими  соотношениями  [1]:

     (4)

           (5)

                (6)

                                         (7)

                                   (8)

Управлением  в  задаче  (4)-(8)  является  набор  ,  в  котором  кусочно-непрерывная  функция    описывает  усилия  руководства  фирмы,  направленные  на  обычное  обучение,  —  множество  моментов  времени  ,  в  которых  проводится  обучение  с  высокой  интенсивностью,    —  интенсивность  обучения  в  момент    Ограничение  на  управление  задается  соотношениями  (8).  Предполагается,  что    где    задает  ограничение  по  суммарным  расходам  на  обучение  работников.  Кусочно-непрерывные  функции    и    —  траектории.  На  промежутках,  не  включающих  точки  множества  ,  они  удовлетворяют  системе  дифференциальных  уравнений  (5),  а  в  точках  множества    —  условию  скачка  (6).  Заметим,  что  функция    появляется  при  переходе  от  интегрального  функционала  к  терминальному,  а  именно,  в  задаче  (1)—(3)    где

                             (9)

и  после  расширения  задачи  (1)-(3)  до  задачи  с  разрывными  траекториями  и  отбрасывания  слагаемого    получаем  критерий  качества  (4).  Цель  управления  в  задаче  (4)—(8)  состоит  в  нахождении  такой  стратегии  обучения  работников  ,  при  которой  функционал  качества  (4)  принимает  наибольшее  значение.

Назовем  допустимым  процессом  задачи  (4)-(8)  набор  ,  состоящий  из  кусочно-непрерывных  траекторий    и  управления  ,  удовлетворяющих  соотношениям  (5)-(8).  Назовем    оптимальным  процессом  задачи  (4)-(8),  если  для  всех  допустимых  процессов    выполняется  неравенство    

Сделаем  два  замечания  [1].

Замечание  1.  Допустимое  управление    по  сути  является  неотрицательной  мерой  Лебега-Стилтьеса  и  может  быть  записано  в  следующем  виде 

где:    —  дельта-функция  Дирака,  сосредоточенная  в  точке    Такие  управления  принято  называть  импульсными,  а  задачу  вида  (4)—(8)  —  задачей  оптимального  импульсного  управления.

Замечание  2.  Для  любого  допустимого  процесса    найдется  последовательность    состоящая  из  троек  функций    удовлетворяющих  (1),  (2)  и  (9),  такая,  что  функции    сходятся  к    в  точках  непрерывности,  а    в  смысле  сходимости  мер.  Таким  образом,  любая  траектория  задачи  (4)—-(8)  может  быть  приближена  последовательностью  траекторий  задачи  (1)—(3).

Исследуем  задачу  (4)—(8)  при  помощи  необходимых  условий  оптимальности  в  форме  принципа  максимума  для  задач  оптимального  импульсного  управления  [1].

3.  Необходимые  условия  оптимальности  в  задаче  (4)—(8)  и  их  анализ

Обозначим  через  ,  где    исследуемый  на  оптимальность  процесс  задачи  (4)—(8).  Будем  считать,  что  величина  достаточно  большая  и  на  исследуемом  процессе  выполняется  неравенство    Выпишем  условия  принципа  максимума  [1],  для  простоты  опуская  черту  у  исследуемого  процесса. 

Функция  Понтрягина:

                   (10) 

Соотношения  для  сопряженной  переменной:

  (11)

             (12)

                                 (13)

Условия  максимума:

  (14)

Условия  оптимальности  точек  скачка:

     (15)

При  записи  соотношений  (10)—(15)  учли,  что  сопряженная  переменная  по  тождественно  равна  . 

Прокомментируем  условия  принципа  максимума. 

1.  Сопряженная  функция    является  кусочно-непрерывной  функцией.  На  участках,  не  содержащих  точки  множества  ,  она  удовлетворяет  дифференциальному  уравнению  (11),  а  в  точках    —  условию  скачка  (12)  .  В  конечный  момент  времени  выполняется  условие  трансверсальности  (13). 

2.  Условие  максимума  управления  (14)  означает,  что  если  ,    —  оптимальный  процесс,  —  соответствующая    сопряженная  функция,  то  справедливо  следующее:

·                        в  моменты  времени    в  которых    выполняется  равенство 

·     в  моменты  времени    когда  проводится  обучение  высокой  интенсивности  («агрессивное»  обучение),  выполняются  равенства

·     в  остальные  моменты    выполняется  неравенство

3.  Условие  оптимальности  моментов  времени,  в  которых  осуществляется  обучение  высокой  интенсивности,  задается  соотношениями  (15).

Анализ  условия  принципа  максимума  приводит  к  следующим  выводам:

1.  Пусть  выполняется  условие: 

,                            (16)

где    и    —  решение  следующей  системы  дифференциальных  уравнений

Тогда  дополнительное  обучение  работников  со  стороны  руководства  фирмы  не  эффективно,  т.е.    

2.  Пусть  условие  (16)  не  выполнено.  Тогда  существует  магистральный  участок  ,  на  котором  ,  где  и  —  решения  уравнений 

                     (17)

При  этом  реализуется  один  из  следующих  случаев:

2.1.             Пусть  .  Тогда  ,    

Здесь  –  характеристическая  функция  отрезка  ,  а  моменты  выхода  на  магистраль    и  схода  с  нее    определяются  из  следующих  условий: 

·     момент  :    

·     момент  : 

Таким  образом,  при  из-за  высокого  начального  уровня  освоения  новой  технологии  агрессивное  обучение  не  эффективно.  На  начальном  промежутке  времени    руководству  фирму  не  выгодно  прилагать  усилия  к  обучению  работников,  однако,  после  снижении  уровня    до  магистрального    в  момент    проводится  обычное  обучение  с  интенсивностью    позволяющее  поддерживать  количество  работников,  владеющих  новой  технологией,  на  магистральном  уровне. 

2.2.             Пусть  .  Тогда 

где  момент  схода  с  магистрального  участка    определяется  как  в  2.1.  В  этом  случае  в  начальный  момент  времени  эффективно  проведение  обучения  высокой  интенсивности,  оно  приводит  к  скачку  функции  в  момент    с  начального  уровня    до  магистрального    Далее  проводится  обычное  обучение,  нацеленное  на  сохранение  магистрального  уровня  освоения  новой  технологии.  После  момента    затраты  на  обучение  перестают  окупаться. 

2.3.             В  случае,  когда  горизонт  планирования  мал  и    магистральный  участок  может  отсутствовать  и  управление  будет  чисто  импульсным.  При  этом  в  начальный  момент  времени  проводится  обучение  высокой  интенсивности,  поднимающее    с  начального  уровня    до    где    удовлетворяет  условиям

В  этом  случае  принципу  максимума  будет  удовлетворять  управление    со  следующими  компонентами:

Проиллюстрируем  полученные  выводы  на  числовом  примере.  Зададим  значения  параметров

Вычислим  магистральные  значения  уровней  освоения  новой  технологии  и  усилий  по  обучению  со  стороны  руководства  фирмы  из  уравнений  (17).  Имеем 

Поскольку    то  в  начальный  момент  времени  проводится  «агрессивное»  обучение,  приводящее  к  скачкообразному  увеличению  уровня    до  магистрального.  При  этом    Обычное  обучение  задается  функцией    На  Рис.  4  и  5  приведены  графики  управления  и  соответствующей  траектории,  удовлетворяющих  принципу  максимума.  Можно  показать,  что  для  полученного  процесса  выполняются  достаточные  условия  оптимальности  из  работы  [2],  и,  следовательно,  он  является  оптимальным. 

Рисунок  4.  Оптимальное  управление

Рисунок  5.  Оптимальная  траектория

Таким  образом,  в  содержательных  случаях  решение  задачи  носит  магистральный  характер  и  имеет  участок  особого  управления,  на  котором    поддерживается  на  постоянном  уровне  .  Если  ,  то  в  начальный  момент  времени  эффективно  обучение  с  высокой  интенсивностью,  что  приводит  к  скачкообразному  возрастанию  уровня    до  магистрального  значения.  Если  ,  то  имеется  начальный  участок  выхода  на  магистраль,  на  котором  обучение  не  ведется. 

Список  литературы:

1.Дыхта  В.А.,  Самсонюк  О.Н.  Оптимальное  импульсное  управление  с  приложениями.  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2003. 

2.Dykhta  V.A.,  Samsonyuk  O.N.  Some  applications  of  Hamilton-Jacobi  inequalities  for  classical  and  impulsive  optimal  control  problems  //  European  Journal  of  Control.  —  2011.  —  Vol.  17.  —  Pp.  55—69.