ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ РАСЧЕТАХ В АКТУАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

ELEMENTS OF PROBABILITY THEORY IN ECONOMIC CALCULATIONS IN ACTUARIAL MATHEMATICS

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются вопросы взаимодействия экономических и математических дисциплин, рассматривается применение теории вероятностей в актуарной математике, приведены конкретные примеры экономических расчетов.

ABSTRACT

The article deals with the interaction of economic and mathematical disciplines, considers the application of probability theory in actuarial mathematics, provides specific examples of economic calculations.

Ключевые слова: Основы математического анализа, теория вероятностей, математическая статистика, основы финансовой математики,  актуарная математика.

Keywords: fundamentals of mathematical analysis, probability theory, mathematical statistics, fundamentals of financial mathematics, actuarial mathematics.

В ходе изучения экономических дисциплин, студенты знакомятся с такими математическими разделами как матричное исчисление, теория пределов, дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов, теория вероятностей, математическая статистика и другие. Применение математического языка помогает экономистам формулировать и проверять гипотезы о разнообразных экономических явлениях, описание которых очень затруднительно без использования строгого математического аппарата. В настоящее время большая часть экономических закономерностей описана с помощью всевозможных математических моделей. В данной статье опишем использование теории вероятности, случайных величин в простейших банковских расчетах.

Вспомним основные понятия, используемые в данной работе. Скалярную функцию , заданную на пространстве элементарных исходов , называют случайной величиной (СВ), если для любого  множество элементарных исходов является событием. Дискретная случайная величина  распределена по биномиальному закону с параметрами  и , если она принимает значения  с вероятностями .

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей.Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения. Функцией распределения случайной величины  называют функцию .

Рассмотрим некоторые примеры банковских расчетов с использованием теории вероятности.

Задача 1. Допустим, есть какое-то количество клиентов банка. Среди них 75% физические лица и 25% – юридические. Анализ деятельности банков показывает, что 46% всех операций приходится на долгосрочные расчеты. Так же известно, из числа операций, связанных с физическими лицами 32% составляют долгосрочные расчеты. Требуется найти вероятность следующего события – случайно выбранный клиент банка осуществляет долгосрочный расчет и является юридическим лицом.

Решение. Рассмотрим следующие события {клиент является физическим лицом}, {клиент осуществляет долгосрочный расчет}. Тогда, используя понятие противоположного события,— интересующее нас событие. При этом по условию , ,  и  . Очевидно, что , следовательно,

Задача 2. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения случайной величины – числа возвращенных в срок кредитов из 3 выданных. Найти вероятность .

Решение.Так как клиенты банка не связаны с друг другом, речь идет о независимых событиях. Составим закон распределения по биномиальному закону с  и . В данной задаче СВ – число возвращенных в срок кредитов из трех выданных принимает значения: , ,  и .         Соответствующие им вероятности , ,  и  найдем, воспользовавшись формулой Бернулли (напомним, формула Бернулли используется для независимых событий, имеющих одинаковую вероятность): :

;

;

.

Тогда ряд распределения СВ имеет вид:

.

Задача 3. Пусть некоторый негосударственный пенсионный фонд начисляет по пенсионным счетам  годовых. 1 января 2017 года вкладчик перечислил  руб. Требуется вычислить, какие проценты будут начислены на эту сумму к 31 декабря 2023 года?

Решение. С 1 января 2017 года до 31 декабря 2023 года пройдет  лет. Используя формулу  сложных процентов, вычислим, что к 31 декабря 2023 года на пенсионном счете будет накоплена сумма:

.

Поэтому проценты составляют руб.

Таким образом, изучение математических дисциплин является неотъемлемой частью экономического образования. Владение математическим аппаратом помогает будущим экономистам анализировать, прогнозировать, корректировать и оптимизировать экономические модели.

Список литературы:

1. Кузнецова Н.Л., Сапожникова А.В. Актуарная математика. Учебное пособие. Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2010. 180 с.
2. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем.М.: МГУ, 1996. – 261 с.
3. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. М.: Российский юридический издательский дом, 1994. – 80 с.
4. Гербер Х. Математика страхования жизни. М.: Мир, 1995. – 156 с.