ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРАХОВЫХ СТАВОК НА ОСНОВЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЙ И ЭМПИРИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ В СТРАХОВАНИИ ИНОМ, ЧЕМ СТРАХОВАНИЕ ЖИЗНИ

Мы живем в обществе, где все может рассматриваться как риск. Чувство неуверенности и страх побуждает людей проявлять больший интерес к безопасности. В рамках такого общества страхование становится все более востребованным. Главные интересы страхователей – гарантировать себе финансовую стабильность и защищенность от потерь в определенных ситуациях. Суть страхования состоит в том, чтобы передать страховой риск от страхователя к страховщику в обмен на заранее определенную плату – тарифную ставку. Данная статья описывает фундаментальные концепции установления страховых ставок и рассматривает основные статистические инструменты, используемые для рационального определения величины ставки.

1. Введение

Одной из основных проблем страховых компаний является разработка структуры тарифных ставок, которая будет справедливо распределять обязательства по выплатам среди страховщиков. Задача определения страховых премий касается, в первую очередь, актуариев. Они предложили и стали применять различные статистические модели, посредством которых пытались установить связь между явлением возникновения риска и факторами риска. В этом плане, цель эконометрического моделирования – максимально реалистично описать взаимосвязи, чтобы можно было определить вероятность возникновения рискового случая, то, как часто он может наступать, и то, какие потребуются выплаты.

Расчеты дифференциальной премии в составе страхового портфеля основаны на принципе установления ставки, который проходит в несколько этапов. Во-первых, принятие риска страховой компанией происходит после априорного анализа, который включает в себя разбиение совокупности риска по факторам воздействия таким образом, что каждая группа включает страхователей со схожими профилями риска. На этом этапе анализа, целями актуария являются определение воздействия обозреваемых факторов или показателей риска страхователя и установление существования корреляционных связей. Этот шаг позволяет определить базовые элементы чистой страховой премии, полученной путем умножения условного ожидания частоты подачи требований на предполагаемую стоимость выплат.

Последняя стадия процесса установления страховой ставки оценивает риски по индивидуальной истории страхователя, включая апостериорный компонент вычисления премии. Другими словами, апостериорной анализ допускает коррекцию априорного тарифа в целях обеспечения разумной классификации риска. Таким образом, результатом этих работ является оценка риска, учитывающая наблюдаемые характеристики риска, и компонент, учитывающий историю претензий страхователя. Такой анализ позволяет получить равновесие между премией, уплачиваемой владельцами полисов, и риском, взятым страховой компанией.

2. Концепция установки ставок в страховании ином, чем страхование жизни.

В страховом бизнесе необходимость различных тарифных ставок обуславливается неоднородностью страхового портфеля, что ведет напрямую к так называемой концепции ассиметричной информации. Информационная проблема между страховой компанией и держателями полисов возникает, когда страховщик затрудняется рассчитать уровень риска страхователя. Экономическая литература представляет два аспекта ассиметричной информации – проблемы безответственного поведения и неблагоприятного выбора. Неблагоприятный выбор возможен, когда держатели полисов имеют более полное представление об их возможных требованиях страховых выплат, чем страхователь, то есть владеют большей информацией, неизвестной страховщику [1]. В 2006 году экономисты заметили, что безответственное поведение возрастает, когда вероятность возникновения рисковой ситуации связана с действиями и решениями страхователя [2]. Неблагоприятный выбор – это эффект ненаблюдаемых различий между отдельными лицами, которые влияют на оптимальность страхового контракта, а безответственное поведение – эффект контракта на поведение застрахованных лиц. Другими словами, в контексте страховых рынков информационные проблемы могут быть определены как эффект применения одинаковых премий ко всему портфелю. Это по сути подразумевает, что неблагоприятные риски также гарантированы, и это препятствует страхованию средних рисков.

В исследованиях начала 21-го века утверждается, что для решения проблем, связанных с ассиметричной информацией при установлении страховых ставок эффективно разделять страховой портфель на суб-портфели, где риски можно считать независимыми [3]. Это приводит к определению классов риска, которые будут иметь различные премии в зависимости от тяжести риска. В этом отношении, важным моментом является критерий классификации риска. Если риск сгруппирован на основе априорной информации, касающейся страхователя или его активов, то полученную группу называют априорной. С другой стороны, если во внимание принимаются история претензий каждого застрахованного, получают апостериорный класс риска.

Учитывая это различие, в литературе по актуарным наукам представлены две концепции установления ставки: априорная и апостериорная оценка [4]. Применяя различные актуарные методы, соответствующие обеим концепциям, специалисты стараются найти единое решение, которое позволит рассчитывать оптимальную страховую премию в зависимости от характера и класса риска.

3. Эмпирический взгляд на страхование иное, чем страхование жизни

Согласно исследованиям МакКлехана [5], в 18-ом столетии премия за полис страхования от пожара определялась по типу крыши и структуре здания, а в морском страховании – по характеристикам корабля. Автор подчеркивает, что страховщики всегда пытались найти математическую модель, которая могла бы определить вероятность возникновения рисковой ситуации и установить разумный страховой взнос.

Привлечение актуарной науки в страховой бизнес началось очень давно. Под значительным влиянием исследований Лундеберга и Крамера [6], которых знают, как основоположников математической теории риска, актуарии стремились рассчитывать риски со стороны страховых компаний.

Изначально, актуарная наука была ограничена использованием гауссовской линейной модели, предполагая использование регрессионного анализа, целью которого является количественное определение влияния переменных величин на представляющий интерес феномен. Линейная модель играла ведущую роль в эконометрике, но применение такой модели в страховании было затруднительным. В данном контексте, линейное моделирование предполагает серию гипотез, которые не совместимы с реальностью, где большую роль играет частота и размер ущерба, создаваемые рисковой ситуацией.

Рассматривая различия между априорным и апостериорным принципами, актуарии фокусировались на поиске метода или инструмента, для применения обоих принципов при расчете страховой ставки в страховании ином, чем страхование жизни.

Априорный принцип

Фундаментальная идея априорного принципа заключается в разделении риска страхователя на различные категории, таким образом, чтобы риск был эквивалентен по группе и подчинялся одному закону. Согласно Делапорте [8], априорный принцип позволяет выделять рисковые группы, в которые включены держатели полисов с одинаковым профилем риска, и где все страхователи будут платить одну и ту же, рассчитанную специально для них, премию.

Первым этапом априорного принципа установления ставки в страховании ином, чем страхование жизни, считается процедура классификации риска, предложенная Бейли и Саймоном в 1960 году [9]. Данный метод использует интерактивный алгоритм расчета оптимального значения для каждой рисковой группы путем минимизации функции смещения. Хотя метод был создан за рамками статистической науки, в актуарной литературе считается, что этот «эвристический» итерационный подход является частным случаем обобщенных линейных моделей (Generalized Linear Models - GLMs).

С конца 20 века, GLM стали использоваться статистами на практике для установления страховых ставок в страховании ином, чем страхование жизни. Нелдер и МакКаллах подчеркнули два основных преимущества методов GLM [10]. Во-первых, обобщение линейного моделирования допускает отклонение от предположения о нормальности, регрессия распространяется на распределения из экспоненциального семейства (нормальные, пуассоновские, биномиальные и гамма-распределения). Во-вторых, GLM позволяет отнести линейную регрессию к зависимой переменной через функцию связи, моделируя аддитивный эффект независимых переменных при преобразовании среднего, а не в самом среднем. Другими словами, эта функция связывает линейный параметр или оценку со средним значением зависимой переменной.

Апостериорный метод.

Актуарная литература продемонстрировала, что использование априорного принципа подразумевает неточное соответствие между некоторыми переменными для расчета тарифа и реальными ситуациями возникновения рисковых ситуаций. Некоторые важные факторы риска не могут быть учтены, из-за чего становится затруднительно использовать предположение об эффективности системы классификации рисков. Ограничения в данном подходе к определению страховой ставки требуют подхода апостериорных актуарных моделей, которые дополнительно учитывают историю претензий отдельных страхователей.

Апостериорная оценка основана на теории доверия. Разные люди ведут себя по-разному в определенных ситуациях, следовательно, со стороны страховой компании, к ним можно относиться с разной степенью доверия. Хотя концепция доверия появилась в середине 20-го века, с 1910 года компания General Motors страховала своих сотрудников от несчастных случаев на производстве в соответствии с этим принципом, установленным позже Моубреем [11].

Предполагая, вероятность возникновения несчастного случая равной (q), Моубрей предлагает расчет минимального числа застрахованных сотрудников (n), так что бы выполнялось, что количество несчастных случаев не будет отличаться больше, чем на 100k% от среднего и будет больше, чем 100p%. Обозначая через N количество несчастных случаев, можно записать утверждение математически:

где N ~ B(n,q). Впоследствии использование нормального приближения для N распределения позволяет установить основу устойчивой теории достоверности.

На этом этапе теория достоверности допускает только два уровня: первый и нулевой. Такая ситуация означает, что для работодателя, расположенного чуть ниже порогового уровня, будет использоваться значительно большая страховая ставка. В ответ на критику, Уитни в 1918 году [12] вводит понятие частичной достоверности, утверждая, что проблема оценки рискового опыта связана с необходимостью найти баланс между коллективным опытом, с одной стороны, и индивидуальным опытом, с другой стороны. Поэтому Уитни заявляет, что основным принципом доверия является установление весового коэффициента, определяющего чистую премию как баланс между опытом индивидуального риска и классом риска.

Ганс Бюльманн решает проблему нахождения оптимальной оценки премии, соответствующей n-му периоду, с учетом замечаний относительно рисков, зарегистрированных в предыдущие периоды. Ему удалось усовершенствовать теорию доверия, введя фактор доверия. Исходя из этих понятий, Бюльманн [7] разработал вместе с Эрвином, известную моделью Бюльмана-Страуба, где основным улучшением исходной модели стало определение структурных параметров. Сейчас, большинство принципов теории достоверности согласуются с базовой моделью, предложенной Бюльманом, вокруг которой были сформулированы все другие модели, принятые в этой области, как обобщения первого.

Хотя теорию достоверности можно рассматривать как искусство сочетать различные коллекции данных для получения точной комплексной оценки, ее конкретные методы трудно реализовать на практике из-за их математической сложности. Поэтому страховые компании стали использовать некоторые методы, которые являются упрощенными версиями теории доверия. Одной из коммерческих версий теории доверия является система бонус-малус, введенная Песоненом в 1962 году [13]. Он пытался установить правила получения оптимальных премий для каждого класса риска в зависимости от уровня бонуса-малуса.

Основная идея этой системы подробно описана позднее Лемэром в 1995 году [14]. Он утверждает, что в системе бонус-малус, представляемой в виде шкалы, состоящей из определенного числа уровней, держателям полисов предоставляется определенное место в соответствии с установленными правилами и количеством претензий. Каждому уровню соответствует определенный коэффициент, который будет применяться к чистой премии, рассчитанной на априорной стадии анализа. В контексте страховых рынков основной целью системы бонус-малус является справедливая оценка индивидуальной степени риска, что позволяет страховой компании требовать премию, соответствующую профилю страхуемого риска и истории претензий страхователя.

4. Заключение

Цель этой статьи - представить теоретические аспекты страхования иного, чем страхование жизни, выделить основополагающие концепции, предлагаемые исследователями и рассмотреть несколько моделей установления страховых ставок.

Эмпирическая литература, представленная в статье, позволяет установить важность установления разумной страховой премии. Сложность оценки риска и развитие страховых рынков обосновывают необходимость исследований в этой области, а это означает, что по-прежнему есть множество возможностей для усовершенствования актуарных моделей.

Список литературы:

1. Denuit, M., Maréchal, X., Pitrebois, S., Walhin, J. F. Wiley, New York. 2007.
2. Chiappori, P. A., Jullien, B., Salanié, B., Salanié, F. RAND Journal of Economics. 2006. № 37, p.783-798.
3. Chiappori, P. A., Salanié, B. Testing for Asymmetric Information in Insurance Markets. Journal of Political Economy. 2000. № 108, p.56-78.
4. David M. A review of theoretical concepts and empirical literature of non-life insurance pricing. Procedia Economics and Finance. 2015. № 20, p.157 – 162
5. McClenahan, C.L. Ratemaking. 4th ed. Foundations of Casualty Actuarial Science, Casualty Actuarial Science. 2001.
6. Lundberg, E.F. Approximations of the probability function. Reinsurance of collective risks. Doctoral thesis, University of Uppsala, Swedish. 1903.
7. Bühlmann, H. Mathematical Methods in Risk Theory. Springer Verlang, New York. 1970.
8. Delaporte, J.P. Les Mathématiques de l'Assurance Automobile. ASTIN Bulletin. 1972. № 6(3), p.185-190.
9. Bailey, R.A., Simon, L.R.J. Two Studies in Automobile Insurance Ratemaking. ASTIN Bulletin. 1960. № 1(4), p.192-217.
10. McCullagh, P., Nelder, J.A. Generalized Linear Models. 2nd ed. Chapman and Hall, London. 1989.
11. Mowbray, A.H. How Extensive a Payroll Exposure is Necessary to Give a Dependable Pure Premium. Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1914. № 1, p. 24-30.
12. Whitney, A.W. The Theory of Experience Rating. Proceedings of the Casualty Actuarial Society. 1918. № 4, p. 274-292.
13. Pesonen, E. A Numerical Method of Finding a Suitable Bonus Scale. ASTIN Bulleti. 1962. № 2(1), p. 102-108.
14. Lemaire, J. Bonus-malus Systems in Automobile Insurance. Kluwer Academic Publishers, Boston. 1995.