СРАВНЕНИЕ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА И ГРАДИЕНТНОГО МЕТОДА В КАЧЕСТВЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПО ОПТИМИЗАЦИИ РАЗМЕЩЕНИЯ КОМПЕНСИРУЮЩИХ УСТРОЙСТВ

В элементах электрической сети, которые обладают активным сопротивлением протекает реактивная мощность, способствующая увеличению потерь мощности и электроэнергии. Помимо этого, возникает уменьшение пропускной способности линий, в виду наличия перетоков реактивной мощности. Это влияет на необходимость принятия ряда технических решений по борьбе с этим явлением: увеличение сечения, замена трансформаторов с большей номинальной мощностью и прочие [4].

Задачи по компенсации реактивной мощности являются весьма значимыми в общем спектре вопросов, связанных с повышением качества передачи электроэнергии, а также её распределения и потребления. В большинстве случаев, именно, правильный подход к решению таких задач будет определять рациональное расходования материальных и денежных ресурсов. Поэтому так необходим современный подход, к решению такого рода задач, с рассмотрением современных позиций и технических решений в данной области [1].

Сложность вопроса по компенсации реактивной мощности, будет включать в себя ряд задач:

- реализация мер по уменьшению реактивной мощности элекроприемников потребителей;

- определение типа и места установки компенсирующего устройства;

- осуществление оптимизации режимов работы компенсирующих устройств, по ряду специализированных критериев электроэнергетических систем.

Для решения задачи по оптимизации выбора мест размещения компенсирующих устройств были рассмотрены 2 метода:

1) метод неопределенных множителей Лагранжа;

2) метод градиентного спуска.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Этот метод позволяет свести задачу условной оптимизации (поиска относительного экстремума) к более простой задаче безусловной оптимизации (поиска абсолютного экстремума) [3].

Реализация рассматриваемого метода приведена ниже на примере поставленной задачи.

Математическая модель будет иметь вид:

                                     (1)

с учетом ограничения

                                                             (2)

и граничных условий

,  .                                                            (3)

Для Решение задачи оптимизации (1) с ограничением (2) и граничными условиями (3) составляется функция Лагранжа:

,                     (4)

минимум которой определяется из решения системы уравнений:

,   ,                                    (5)

где  – неопределенный множитель Лагранжа.

Результатом решения системы (5) являются искомые мощности ККУ

() и места их установки (узлы сети, для которых ).

Решение задачи выбора оптимальной мощности КУ и мест их установки в семи узловой схеме (рисунок 1) методом неопределенных множителей Лагранжа средствами MathCad, представлено на рисунках 2-4.

В таблице 1 приведены исходные данные для решения задачи.

Таблица 1

Исходные данные

Рисунок 1. Схема системы электроснабжения

Рисунок 2. Математическая модель рассматриваемой задачи

Рисунок 3. Решение задачи оптимального распределения компенсирующих устройств

Рисунок 4. Результаты решения задачи оптимального распределения компенсирующих устройств

Таким образом, при установке КУ (Qk₁  = 329,1 квар; Qk₂ = 383,7 квар;  Qk₃ =389,1 квар; Qk₄ =79,3 квар; Qk₅ =292 квар; Qk₆ =50,7 квар; Qk₇ = 126,1 квар) потери активной мощности составят 75, 6 кВт.

Метод градиентного спуска. Проблема оптимизации, если выражать ее математически, может быть представлена как некоторое множество элементов, которое мы можем назвать множеством допустимых элементов. Зададимся, некоторой функцией S, которая будет содержать наше множество элементов в множестве вещественных чисел, что есть функционал.

В задаче безусловной оптимизации отсутствуют ограничения.

Напомним, что градиентом многомерной функции называют вектор, который аналитически выражается геометрической суммой частных производных

,                          (6)

Градиент скалярной функции F(X) в некоторой точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции и ортогонален линии уровня (поверхности постоянного значения F(X), проходящей через точку Xk). Вектор, противоположный градиенту - антиградиент - направлен в сторону наискорейшего убывания функции F(X). В точке экстремума grad F(X)=0.

В градиентных методах движение точки при поиске минимума целевой функции описывается итерационной формулой:

,                                               (7)

где l_k - параметр шага на k-й итерации вдоль антиградиента. Для методов восхождения (поиска максимума) нужно двигаться по градиенту.

Различные варианты градиентных методов отличаются друг от друга способом выбора параметра шага, а также учета направления движения на предыдущем шаге (1).

Рассмотрим реализацию расчета в mathcad методом градиентного спуска:

Рисунок 5. Схема системы электроснабжения.

Рисунок 6. Исходные данные

Рисунок 7. Граничные условия

Рисунок 8. Граничные условия

Рисунок 9. Вспомогательные условия

Рисунок 10. Функция минимизации двух переменных методом градиентного спуска

Сравнивая 2 метода, можно сказать, что наиболее эффективным является метод градиентного спуска. Результаты расчета показали, что при использовании данного метода потери активной мощности составляют всего 0,06 кВт. Метод неопределенных множителей Лагранжа оказался менее эффективным, так как потери активной мощности составили 75,6 кВт.

Таким образом, при решении задачи по оптимизации выбора мест размещения компенсирующих устройств, следует руководствоваться методом градиентного спуска.

Список литературы:

1. Александров, О.И. Уменьшение потерь в сложнозамкнутой электрической сети путем компенсации реактивных мощностей нагрузок / О. И. Александров, Л. П. Падалко, Н. Н. Никольская. – В кн.: Опыт планирования, анализа потерь энергии и разработка мероприя-тий по их снижению в энергосистеме. – Минск: Вышейшая школа, 1974. – С. 65–71.
2. Беляевский, Р.В. К вопросу об оптимизации размещения компенсирующих устройств в электрических сетях промышленных предприятий / Р. В. Беляевский, В. М. Ефременко //Федоровские чтения – 2011. XLI Всероссийская научно-практическая конференция (с международным участием) с элементами научной школы для молоде-жи. Москва, 9-11 ноября 2011 г. / Под ред. Б.И. Кудрина, Ю.В. Матюниной. – М.: Издательский дом МЭИ, 2011. – С. 63–65
3. Ефременко В.М. Расчет оптимального размещения компенсирующих устройств методом множителей Лагранжа/ Ефременко В.М., Беляевский Р.В.// Вестник Кузбасского технического университета, 2012.
4. Ковалев, И.Н. О направлениях исследований в области компенсации реактивной мощности (дискуссия) / И. Н. Ковалев // Электричество. – 1981. – № 10. – С. 61–64.