ЦИФРОВАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ ПРОВЕДЕНИИ АНАЛОГО-ЦИФРОВЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

При проведении измерений, измеренное значение той или иной величины имеет вероятностный характер, из-за воздействия на процесс измерения различных факторов. При проведении измерений в электронике к таким факторам можно отнести:

1. Тепловые шумы – шумы, вызванные тепловым движением носителей заряда в проводнике, в результате чего между двумя точками проводника возникает случайно изменяющаяся разность потенциалов;
2. Дробовой шум – вероятностные флуктуации токов и напряжений в электрической цепи, вызванные дискретностью носителей заряда. Перемещения каждого заряда в проводнике связано с всплеском тока, протекающего через него;
3. Внешние наводки – вероятностные флуктуации токов и напряжений, вызванные воздействием на измерительное устройство внешних электромагнитных полей. Данный тип шумов очень критичен при близком расположении друг с другом аналого-цифровых узлов, например на кристалле микроконтроллера. Высокочастотные токи, протекающие по цифровым линиям кристалла микроконтроллера, вызывают наводку на линии аналоговых блоков микроконтроллера, таких как ЦАП и АЦП.
4. Шумы квантования - в отличие от описанных выше видов шумов неслучайны и вызваны особенностями конкретного преобразователя. В общем случае, можно считать, что шум квантования — ошибки, возникающие при разбиении диапазона отсчётных значений сигнала на конечное число уровней и округление этих значений до одного из двух ближайших к ним уровней.

Одним из наиболее простых методов решения задачи снижения погрешности является программная фильтрация ошибочных значений. Программная фильтрация – программная обработка отсчетов, полученных в результате измерения, выполняемая с помощью методов теории вероятностей, проводимая с целью обнаружения и устранения ошибочных значений. Рассмотрим метод скользящих средних, так как он наиболее распространен.

Метод скользящих средних - является одним из широко известных методов сглаживания. Используя этот метод, можно исключить случайные колебания измеряемой величины.

Технически, данный метод реализуется с помощью цифрового КИХ-фильтра. Выходной сигнал для такого фильтра описывается выражением:

где, x(n) – n-ный входной отсчет, N – ширина фильтрующего окна, y(n) – значение выходного сигнала.

Рассмотрим построение фильтра скользящего среднего на примере фильтра с длинной окна N=5. Раскроем выражение 1 для значения n-ого отсчета в виде:

                              (2)

Тогда для (n-1)-ого отсчета:

                      (3)

Вычтем из выражения 3 выражение 2:

                                              (4)

Тогда, для произвольной длины фильтрующего получим выражение:

                                             (5)

Найдем частотные характеристики рекурсивного фильтра скользящего среднего, для чего выполним Z-преобразование уравнения фильтра.

                                         (6)

Решим полученное уравнение относительно коэффициента передачи фильтра Y/X:

                                             (7)

Перейдем из Z-области в частотную, для получения комплексного коэффициента передачи:

                                            (8)

Построим графики АЧХ и ФЧХ полученного фильтра при разных значениях ширины фильтрующего окна.

Результат работы такого фильтра показан на рисунке 3, для фильтра с шириной окна 10. Результат получен в программе

Рисунок 1. АЧХ фильтра скользящего среднего

На рисунках по оси абсцисс отложена нормированная частота, по оси ординат - модуль и аргумент коэффициента передачи.

Рисунок 2. ФЧХ фильтра скользящего среднего

Microsoft Excel, при обработке выборки чисел, симулирующих экспериментальные данные. Выборка, состоящая из 1000 значений, сгенерирована с помощью функции =ЦЕЛОЕ((НОРМ.ОБР(СЛЧИС();10;1))). Выборка чисел, генерируемая данной функцией, подчиняется нормальному закону распределения. На рисунке 3 по оси абсцисс отложен номер отсчета, по оси ординат его значение.

Рисунок 3. Результат фильтрации

Пунктиром обозначена выборка до фильтрации, сплошной линией после. Убедится в том, что выборка близка к нормальному распределению можно из гистограммы частот для этой выборки, показанной на рисунке 4.

Рисунок 4. Гистограмма частот

Список литературы:

1. Дворяшин Б.В., Кузнецов Л.И. Радиотехнические измерения. – М.: Советское радио, 1978. – 360 с.
2. Каппелини В. Цифровые фильтры и их применение; Перевод с англ. В. Н. Елисеева. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 360 с
3. Рекурсивный фильтр скользящего среднего [Электронный ресурс] – Режим доступа: https://habr.com/ru/post/325590/ (дата обращения: 28.04.2019).