СПОСОБ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ

Задачи принятия решений широко распространены в любой предметной области. Существует такой класс задач, которые невозможно решить с помощью обычных математических методов. К ним относят слабоструктурированные и неструктурированные задачи, которые характеризуются неопределенностью и неполнотой исходных данных. При решении выделенных задач необходимо уменьшить неопределенность, что можно сделать, получив субъективные оценки экспертов и организовав систему предпочтений лица, принимающего решение (ЛПР).

Одним из универсальных методов принятия решений, учитывающих многокритериальность выбора в условиях неопределенности из множества альтернатив, является метод анализа иерархий (МАИ). Универсальность метода выражается в том, что он может применяться для решения разного рода задач, например, распределения ресурсов, составления рейтингов, принятия организационных и кадровых решений, анализа вероятных сценариев развития событий [1, c. 44].

Метод анализа иерархий включает в себя процедуры синтеза множественных суждений, оценку важности критериев и определение альтернатив. Исходными данными задачи при этом являются экспертные оценки, которые представлены отношениями предпочтения альтернатив в виде матрицы парных сравнений.

Как известно, на практике при принятии решений субъективные оценки экспертов характеризуются несогласованностью и противоречивостью. В связи с этим возникает необходимость уменьшения ошибок в исходных измерениях до допустимых значений.

В МАИ для определения несогласованности данных используют показатель «отношение согласованности». Но данный метод имеет очевидный недостаток – невозможность определения причины рассогласованности субъективных оценок. Этот недостаток требует больших трудозатрат, которые необходимы эксперту для пересмотра оценок на множестве всех значений матрицы, особенно при ее больших размерах [2, с. 14].

Для устранения выделенного недостатка предлагается способ поддержки принятия решений на основе метода анализа иерархий, к основным этапам которого относятся следующие.

Этап 1. Представление проблемы в виде иерархии.

Решение той или иной задачи принятия решений с использованием метода анализа иерархий начинается с формулировки проблемы и ее представления в виде иерархии или сети, выделения критериев и альтернатив, подлежащих оценке. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи [3, с. 19].

Этап 2. Попарное сравнение критериев по важности с составлением обратносимметричных матриц.

На данном этапе экспертам необходимо определить относительную важность элементов иерархии путем их попарного сравнения. Экспертами определяются степени доминирования одного элемента над другим, которые выражаются в целых числах на основе шкалы отношений.

По результатам парных сравнений строятся соответствующие обратносимметричные матрицы, заполнение которых происходит по следующим правилам:

·при доминировании элемента A1 над элементом A2, в клетку матрицы, соответствующей первой строке и второму столбцу, ставится целое число, а в клетку, которая соответствует строке A2 и столбцу A1, заносится обратное к нему число;

·при доминировании элемента A2 над элементом A1, клетка, соответствующая второй строке и первому столбцу, заполняется целым числом, а дробь ставится в клетку, которая соответствует строке A1 и столбцу A2;

·в случае равнопредпочтительности элементов A1 и A2 (а также при сравнении элемента самого с собой), обе ячейки матрицы заполняются единицами.

Таким образом, результатом парных сравнений элементов является квадратная матрица A = (A_ij) с единичной диагональю, которая имеет свойство обратной симметричности:

 a_ij=1/a_ji                                                                    (1)

a_ij = v_i / v_j, a – элемент обратносимметричной матрицы, индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Результатом 2 этапа предлагаемого способа является набор обратносимметричных матриц A₁, A₂, …, A_n с элементами (a_ij, i, j = 1, 2, …, k), где n - количество элементов предыдущего уровня иерархии, k - количество элементов следующего уровня иерархии [2, с. 51].

Этап 3. Определение приоритетов альтернативных решений.

На данном этапе происходит формирование набора локальных приоритетов из матриц парных сравнений. В качестве вектора приоритетов для каждого уровня иерархии выступает нормализованный собственный вектор обратносимметричной матрицы.

Вычисление геометрического среднего – один из быстрых способов определения собственных векторов матриц (l₁, l₂, …, l_i, …, l_n). Его получают с помощью формулы:

                                                          (2)

 – i-я компонента вектора приоритетов;

 – экспертная оценка, элемент обратносимметричной матрицы сравнений;

n – размерность матрицы сравнений [4, с. 68].

Этап 4. Нахождение согласованности локальных приоритетов.

В методе анализа иерархий рассматриваются индекс согласованности и отношение согласованности. Первый показатель дает информацию о степени нарушения транзитивной согласованности и позволяет вычислить значение показателя отношение согласованности:

                                                                (3)

 – индекс согласованности, ;

i – индекс строки матрицы парных сравнений;

j – индекс столбца матрицы парных сравнений;

SS – случайная согласованность экспертных оценок матрицы размерностью n.

Полученное значение показателя OS должно не превышать установленные пределы (обычно не более 10 %, но в некоторых случаях допускается значение 20 %). Если же значение данного показателя превысило допустимое, тогда экспертам необходимо заново исследовать задачу и пересмотреть свои оценки [5, с. 23].

Ограничением МАИ является то, что при больших размерах обратносимметричных матриц, экспертам придется проводить пересмотр своих оценок на множестве всех значений матрицы, что будет являться трудно выполнимой задачей. Поэтому для идентификации конкретного «места» несогласованности данных в матрице предлагается использовать подход, состоящий из двух процедур:

· во-первых, определения локальной несогласованности;

· во-вторых, взаимной коррекции экспертных оценок.

Процедура определения локальной несогласованности включает в себя следующие шаги.

Шаг 1. Декомпозиция исходной обратносимметричной матрицы размерностью n×n на n матриц размерностью (n – 1) (n – 1).

Матрицы размерностью (n – 1) (n – 1) получают путем исключения из исходной матрицы строк и столбцов с одинаковыми индексами.

Шаг 2. Определение показателя отношение согласованности для каждой полученной матрицы меньшей размерности.

Шаг 3. Нахождение двух матриц, которые имеют минимальное значение показателя OS.

Если найденное значение показателя отношение согласованности для матрицы размерностью (n – 1) (n – 1) высокое, то это значит, что она состоит из оценок, обладающих большой рассогласованностью.

Если же матрица размерностью (n – 1) (n – 1) имеет значение показателя OS низкое, то она не содержит элементы, которые являются причиной рассогласованности исходной матрицы большей размерности. Следовательно, оценки, обладающие максимальной погрешностью измерений, находятся в исключенных из матрицы строке и столбце.

Таким образом, определить субъективную оценку, которая обладает максимальной рассогласованностью, можно, найдя две матрицы размерностью (n – 1) (n – 1), показатель OS для которых будет минимален.

Шаг 4. Определение на основе двух найденных матриц оценки, подлежащей коррекции.

Далее необходимо провести взаимную коррекцию оценок. Для этого эксперт должен скорректировать значение найденной оценки с максимальной рассогласованностью на основе взаимозависимых оценок, расположенных в исходной матрице большей размерности. Две рассмотренные процедуры могут итеративно выполняться, пока значение показателя OS не будет находиться в допустимых пределах.

Этап 5. Нахождение решения задачи.

Для того чтобы найти альтернативу, которая будет являться решением поставленной задачи, необходимо найти глобальный вектор приоритетов . Он находится по формуле:

                                                      (4)

x_k – значения вектора приоритетов матрицы критериев;

y_ki – значения вектора приоритетов матрицы альтернатив;

m – число альтернатив.

Альтернатива, имеющая максимальное значение в глобальном векторе приоритетов: , будет являться решением поставленной задачи [3, с. 94].

Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный способ по сравнению с классическим МАИ, предоставляет возможность значительно сократить время согласования оценок исходной матрицы попарных сравнений. Это достигается за счет намеренного поиска места рассогласованности оценок в обратносимметричных матрицах, в результате чего существенно уменьшается количество операций для определения и коррекции наиболее рассогласованной оценки. Рассмотренный способ приводит к повышению оперативности принятия решений, что особенно будет заметно при работе с иерархиями с большим количеством исходных данных.

Список литературы:

1. Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решения. М.: МАКС Пресс, 2008. – 197 с.
2. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование решений в экономике. М.: Финансы и статистика, 2000. – 368 с.
3. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в Волшебных Странах: Учебник. М.: Логос, 2000. – 296 с.
4. Ногин В.Д. Принятие решений при многих критериях. СПб.: Издательство «ЮТАС», 2007. – 104 с.
5. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М: Радио и связь, 1993. – 278 с.