ОБ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА БЕННИ–ЛЮКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ

ON AN INVERSE PROBLEM FOR A BENNEY–LUKE TYPE EQUATION WITH INVOLUTION

Ключевые слова: инволюция, уравнение типа Бенни–Люка, обратная задача, существование и единственность решения.

Keywords: involution, Benney–Luke type equation, inverse problem, existence and uniqueness of solutions.

Пусть - единичный квадрат., отображение определяется равенством и оператор определяется равенством . Рассмотрим в области следующую задачу

Задача IP. Найти пару функций удовлетворяющих уравнению

, (1)

условиям Навье

(2)

начальному и конечному условию

. (3)

Регулярным решением задачи (1)-(3) назовем функцию из класса и для которой все производные входящие в уравнение (1) являются непрерывными в области и удовлетворяющие условиям (1)-(3) в классическом смысле.

К вопросам разрешимости начально-краевых задач для уравнения типа Бенни-Люка посвящены работы [1-3]. В частности, в работе [1] рассмотрена задача, близкая к рассматриваемой, изучена для уравнения вида , где является самосопряжённым положительным оператором.

В отличие от работы [1], в настоящей статье рассматривается дифференциальный оператор с инволюцией, спектр которого в зависимости от значений параметров и может содержать как положительные, так и отрицательные собственные значения.

Пусть Система является ортонормированным базисом пространства и поэтому решение задачи (1)-(3) будем искать в виде рядов

.

Подставляя эти функции в условия задачи (1)-(3) для неизвестных коэффициентов и получаем следующую задачу

, (4)

где обозначено и

.

В дальнейшем будем считать . Тогда для справедливы оценки и неизвестные коэффициенты и находим по формуле

(5)

Таким образом, неизвестная пара функций определяются рядами:

(6)

(7)

Приведем основное утверждение относительно задачи IP.

Теорема. Пусть функции принадлежат классу и для каждой функции выполняются условия согласования

и

Тогда обратная задача IP имеет единственное классическое решение. Это решение представляется рядами (6) и (7)

Доказательство. По построению функции и из равенств (6) и (7) формально удовлетворяют всем условиям задачи IP. Остаётся обосновать необходимую гладкость этих функций. Для этого мы оценим коэффициенты и из (5).

При условии существуют постоянные , такие что Из явных формул для коэффициентов получаются оценки а также Поэтому достаточно доказать сходимость числового ряда

При выполнении условий теоремы принадлежит . Пять раз интегрируя коэффициент Фурье по частям по каждой переменной, получаем

.

Далее, по неравенству Бесселя

Теперь применим неравенство Коши-Буняковского:

Последний числовой ряд сходится. Следовательно, Применяя это к и , получаем абсолютную и равномерную сходимость рядов, представляющих функции Благодаря установленной равномерной сходимости можно выполнять почленное дифференцирование по времени и применение операторов и , а полученные функции удовлетворяют уравнению в классическом смысле. Единственность решения доказывается стандартным методом с использованием полноты системы собственных функций оператора .

Список литературы

1. Файзиев Ю.Э., Пирматов Ш.Т., Дехконов Х.Т. Прямые и обратные задачи для дробных уравнений типа Бенни–Люка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2024. – С. 82⁠–⁠91.
2. Fayziev Y.E., Dekhkonov K.T. A Non-Local Problem for the Benney–Luke Type Fractional Order Equation // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2025. – Т. 46, № 11. – P. 5565⁠–⁠5576.
3. Yuldashev T.K. Determining of coefficients and the classical solvability of a nonlocal boundary-value problem for the Benney–Luke integro-differential equation with degenerate kernel // Journal of Mathematical Sciences. – 2021. – Т. 254, № 6. – P. 793⁠–⁠807.