ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ КАК СРЕДСТВО ИНТЕГРАЦИИ МАТЕМАТИКИ И ИСКУССТВА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

FIBONACCI NUMBERS AS A MEANS OF INTEGRATING MATHEMATICS AND ART IN SECONDARY SCHOOL

Kosheleva Alisa Evgenyevna

Student, Department of Physics, Mathematics and Physics and Mathematics Education, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after K. Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

Elizarova Ekaterina Yuryevna

Scientific supervisor, Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Nizhny Novgorod State Pedagogical University named after K. Minin,

Russia, Nizhny Novgorod

АННОТАЦИЯ

Статья посвящена использованию чисел Фибоначчи как наглядного средства интеграции математики с искусством и другими областями знаний в средней школе. Рассматриваются природные, архитектурные и художественные проявления последовательности и золотого сечения. Предлагается система учебных заданий, направленных на изучение закономерностей, отношений и пропорций, а также развитие исследовательских и творческих навыков учащихся.

ABSTRACT

The article considers Fibonacci numbers as a visual means of integrating mathematics with art and other fields of knowledge in secondary school. Natural, architectural and artistic examples related to the sequence and the golden ratio are discussed. A system of educational tasks aimed at studying patterns, ratios and proportions, as well as developing students’ research and creative skills, is proposed.

Ключевые слова: числа Фибоначчи, золотое сечение, математическое образование, познавательный интерес, математика и искусство, средняя школа, наглядность.

Keywords: Fibonacci numbers, golden ratio, mathematical education, cognitive interest, mathematics and art, secondary school, visual aids.

Одной из актуальных проблем математического образования является снижение интереса учащихся к предмету. Исследование Н. С. Пипич, проведённое среди учащихся 5–7 классов, показывает снижение положительного отношения к математике с возрастом [1]; среди причин отрицательного отношения школьники отмечали трудность усвоения материала. Ю. В. Попова также связывает снижение учебной мотивации со сложностью абстрактных математических понятий, перегрузкой и недостаточно доступной подачей материала [2].

Существенным фактором снижения интереса является и слабая связь изучаемого материала с повседневной жизнью. Результаты PISA 2018 свидетельствуют, что около 40% учащихся не воспринимают математические знания как значимые для решения повседневных задач [2]. Это подчёркивает необходимость практико-ориентированных примеров, позволяющих увидеть применение математики за пределами учебника.

Одним из таких материалов могут стать числа Фибоначчи. Последовательность задаётся правилом, согласно которому каждый следующий член равен сумме двух предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… [3] Отношение соседних членов при увеличении их номера приближается к золотому сечению φ ≈ 1,618. Геометрическим образом последовательности служит спираль Фибоначчи, близкая к золотой спирали [4].

Связь математики с окружающим миром особенно наглядна в природе. Логарифмические спирали встречаются в форме раковин моллюсков и улиток; закономерности расположения элементов можно наблюдать в подсолнухах и сосновых шишках, а ветвление растений позволяет обсуждать числовые закономерности [5]. При этом конкретные природные объекты не обязательно дают идеальную последовательность Фибоначчи, что важно учитывать при обучении.

В архитектуре связь чисел Фибоначчи чаще рассматривается через золотое сечение [6]. Однако утверждение о том, что конкретное сооружение спроектировано по золотому сечению, требует проверки. Поэтому учащимся полезно предлагать измерить элементы объекта и сравнить полученные отношения с 1,618. Более достоверным примером является система «Модулор» Ле Корбюзье, в которой использовались антропометрические размеры, золотое сечение и связанные с ним пропорции [7].

В искусстве и дизайне золотое сечение может использоваться для построения композиции, золотого прямоугольника и определения соотношения частей и целого. Вместе с тем сведения о намеренном применении золотого сечения отдельными художниками, например, Леонардо да Винчи, в ряде случаев остаются спорными. Поэтому измерение репродукций и проверка гипотезы становятся самостоятельным исследовательским заданием.

Таким образом, числа Фибоначчи являются наглядным материалом, поскольку позволяют объединить числовые закономерности, рекуррентные зависимости, отношения и пропорции, геометрию, графики и элементы математического моделирования. Одновременно они создают возможность показать связь математики с природой, архитектурой, искусством, историей и информатикой.

Приведем примеры учебных заданий, которые раскрывают взаимосвязь математики и искусства.

Задание 1. «Продолжение последовательности». Дана последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … . Найдите следующие пять членов последовательности и сформулируйте правило ее построения [8].

Ответ на задачу: 21, 34, 55, 89, 144.

Отметим, что данное задание можно использовать при изучении закономерностей и числовых последовательностей.

Задание 2. «Задача о кроликах Фибоначчи». В начале имеется одна пара новорожденных кроликов. Считается, что через один месяц пара становится способной к размножению, а затем каждый месяц производит одну новую пару. Все пары считаются живущими и способными к размножению. Сколько пар кроликов будет через 12 месяцев?

Решение задачи удобно оформить в виде таблицы: номер месяца – количество пар. Получается последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144. Следовательно, при такой модели через 12 месяцев будет 144 пары.

При решении такой задачи, важно отдельно объяснить учащимся, что это математическая модель, а не реалистичная модель размножения кроликов.

Задание 3. «Исследование отношения соседних членов». Запишите первые десять ненулевых членов последовательности Фибоначчи и вычислите отношения каждого следующего члена к предыдущему. Например: 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 ≈ 1,67; 8/5 = 1,6. Сделайте вывод о том, к какому числу приближаются полученные значения.

Данное задание позволяет подвести учащихся к понятию золотого сечения.

Задание 4. «Фибоначчи и искусство». Выберите произведение живописи, плакат или фотографию. Попробуйте определить, можно ли расположить основные элементы композиции в соответствии с золотым прямоугольником. После этого сравните исходное изображение и вариант с нанесенной сеткой. Ответьте на вопросы: изменилось ли восприятие изображения; какие геометрические формы удалось обнаружить; можно ли утверждать, что автор специально использовал золотое сечение?

Такое задание развивает исследовательские навыки и умение отделять наблюдение от доказанного факта.

Задание 5. «Практическая задача с растениями». Учащимся предлагается фотография подсолнуха, сосновой шишки или ананаса. Необходимо найти две группы спиралей, идущих в противоположных направлениях, и посчитать их количество. После этого сравнить полученные числа с числами Фибоначчи.

Важно подчеркнуть, что такие примеры связаны с закономерностями расположения элементов растений, однако конкретный объект не обязательно будет давать идеальную последовательность.

Задание 6. «Творческая работа». Используя квадраты Фибоначчи, создать собственный орнамент, логотип или графическую композицию. После выполнения работы учащийся должен объяснить, какие числа были использованы, как построена композиция и какие математические отношения лежат в ее основе.

Такое задание особенно удобно для интеграции математики и искусства, поскольку результат математического построения становится визуальным продуктом.

Задания можно распределять по уровням подготовки: в 5–6 классах использовать продолжение последовательности, таблицы, простые построения и задачу о зайцах; в 7–8 классах – отношения соседних членов, пропорции, золотой прямоугольник и исследование объектов; в 9 классе и старше – рекуррентные формулы, формулу Бине, графическое представление и элементы моделирования.

Тема также подходит для межпредметной интеграции: на математике изучаются формулы и геометрические построения, на информатике – алгоритмы и программирование, на изобразительном искусстве – композиция и пропорции, на биологии – закономерности расположения элементов растений, на истории – развитие математических идей и биография Леонардо Пизанского. Такой подход показывает, что математические знания применимы для описания и исследования окружающего мира.

Таким образом, числа Фибоначчи представляют собой удобный наглядный материал для изучения математики в средней школе. Они позволяют одновременно работать с числами, закономерностями, отношениями, геометрическими фигурами и графическими образами, а также демонстрировать связь математики с природой, архитектурой и искусством. Исторический сюжет о задаче с кроликами, исследовательские и творческие задания делают тему пригодной для уроков, факультативов, проектов и интегрированных занятий. Использование чисел Фибоначчи способствует повышению наглядности математического материала и помогает учащимся воспринимать математику как средство описания, исследования и создания объектов реального мира.

Список литературы:

1. Пипич, Н. С. Диагностика отношения обучающихся 5, 6, 7 классов к предмету математики [Электронный ресурс] / Н. С. Пипич. — Текст : электронный // Мультиурок : образовательный портал. — URL: https://multiurok.ru/files/diagnostika-otnosheniia-obuchaiushchikhsia-5-6-7-k.html (дата обращения: 23.09.2026).
2. Попова, Ю. В. Угасающий огонь: причины снижения учебной мотивации на уроках математики и пути ее возрождения [Электронный ресурс] / Ю. В. Попова. — Текст : электронный // Учительский журнал. — 2025. — 28 апр. — URL: https://www.teacherjournal.ru/categories/10/articles/10963 (дата обращения: 23.09.2026).
3. Воробьев, Н. Н. Числа Фибоначчи. — 5-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 144 с.
4. Волошинов, А. В. Математика и искусство. — 2-е изд., дораб. и доп. — Москва : Просвещение, 2000. — 400 с.
5. Васютинский, Н. А. Золотая пропорция. — Москва : Молодая гвардия, 1990. — 238 с.
6. Ковалев, А. Н. Архитектурная математика, золотое сечение и числа Фибоначчи в Древнем мире // Математическое образование. — 2024. — № 4 (112). — С. 37–54.
7. Ле Корбюзье. Модулор. — Москва : Стройиздат, 1976. — 239 с.
8. Черхарова, Н. И. Практико-ориентированные задания как средство повышения мотивации к изучению математики у студентов экономических направлений // Вестник психологии и педагогики Алтайского государственного университета. — 2020. — URL: https://bppasu.ru/article/view/8495 (дата обращения: 27.09.2026).