О РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЯ ДЗЕТА ЭТА И БЕТА ФУНКЦИЙ

​АННОТАЦИЯ

Из разложений функций  и  в ряды Фурье были получены три рекуррентных соотношения, связывающие значения дзета-функции Римана , эта-функции Дирихле  и бета-функции Дирихле . В отличие от классических формул Эйлера, использующих числа Бернулли, предлагаемый метод основан только на элементарном интегрировании по частям и перестановке сходящихся рядов. Полученные соотношения имеют компактный вид и могут быть использованы для последовательного вычисления специальных значений.

Ключевые слова: фурье, сходимость, ряды, рекуррентное соотношение, порядок суммирования, интегрирование.

Введение

Значения дзета-функции Римана  в чётных положительных точках известны со времён Эйлера и выражаются через числа Бернулли: . Аналогичные формулы существуют для эта-функции  и бета-функции . Классические выводы этих формул обычно опираются на разложения в степенные ряды или свойства чисел Бернулли.

В настоящей работе предлагается альтернативный элементарный подход, основанный на разложении некоторых функций в ряды Фурье. Непосредственное вычисление коэффициентов Фурье и последующая перестановка сумм приводят к трём компактным рекуррентным соотношениям для ,  и .

Теорема 1. Для любого целого  справедливо соотношение

Доказательство.

Рассмотрим функцию , где , . Разложим её в ряд Фурье на отрезке :

где

Найдём коэффициент :

Вычислим коэффициент :

Интегрируем по частям  раз:

При  выражение обращается в ноль. При : , :

Запишем это в виде конечной суммы:

Подставляем найденные коэффициенты в ряд Фурье:

При :

Поменяем порядок суммирования: для каждого фиксированного  ряд  сходится, а сумма по  от  до  конечна, поэтому двойной ряд сходится абсолютно. Тогда, по теореме Фубини:

Заметим, что . Разделив обе части на , получим:

Теорема доказана. ◻

Теорема 2. Для любого целого  справедливо соотношение

Доказательство.

Рассмотрим функцию , где , , и разложим её в ряд Фурье на отрезке :

Интегрируем по частям  раз:

Подставим :

 для чётных ,  для нечётных .

Поскольку для каждого фиксированного  ряд  сходится, а сумма по  от  до  конечна, то порядок суммирования можно изменить:

Теорема доказана. ◻

Теорема 3. Для любого целого  справедливо соотношение

Доказательство.  

Подставим  в тождество (1):

Для чётных : . Для нечётных : :

Поскольку сумма по  конечна, а ряд  сходится, то двойной ряд сходится абсолютно. Меняем порядок суммирования:

Так как

:

После упрощений получаем искомую формулу:

Теорема доказана. ◻

Заключение

Полученные три рекуррентные соотношения отличаются от классических своей простотой и отсутствием чисел Бернулли (хотя и легко могут быть к ним сведены). Отсюда также вытекают интересные рекуррентные формулы и для самих чисел Бернулли после подстановки известных выражений для  и . В дальнейшем метод может быть обобщён и на другие специальные функции, возникающие при разложении в ряды Фурье.

Список литературы:

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. — М.: Лань, 2026.