ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА, СВОЙСВА И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

​АННОТАЦИЯ

Интегральные вычисления лежат в основе множества физических, экономических и статистических моделей. Чёткое понимание формулы Ньютона-Лейбница и её свойств позволяет избежать вычислительных ошибок и правильно интерпретировать площадь как «накопленный эффект». Представленные методы остаются неизменным инструментарием при решении как классических геометрических задач, так и современных прикладных проблем.

Ключевые слова. Неопределённый интеграл; формула Ньютона-Лейбница; суммы; дифференциальное исчисление; неравенство; рациональные дроби.

Определённый интеграл — это число, которое представляет приращение первообразных функции на заданном отрезке [a; b] [1, с. 112]. Он имеет чёткие границы интегрирования и широко применяется в математике, физике, экономике и других науках для вычисления площадей, объёмов, работы, массы и других величин. Формула Ньютона — Лейбница связывает определённый интеграл с первообразной функции и позволяет вычислять его значение [1, с. 114].

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а F(x) — её первообразная (то есть F′(x)=f(x)), то:

Алгоритм применения формулы:

1. Убедиться, что функция  непрерывна на отрезке [a;b]. Если есть разрывы, интеграл нужно разбить на несколько частей [1, с. 115].
2. Найти первообразную  для функции .
3. Подставить в первообразную значения верхнего (b) и нижнего (a) пределов интегрирования/
4. Вычислить разность  — это и будет значение определённого интеграла [1, с. 116].

Свойства определённого интеграла. Линейность. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

где -константа.

Аддитивность. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:

Интеграл с одинаковыми пределами. Если a=b, то:

Изменение порядка интегрирования. При изменении порядка интегрирования знак определённого интеграла меняется на противоположный:

Разбитие отрезка. Если отрезок [a;b] точкой x=c разбит на части то:

Теорема о среднем. Если функция  непрерывна на [a;b], то на этом отрезке найдется такая точка x, что:

Интеграл от нечетной функции. Если

Интеграл от чётной функции. Если

[1, с. 120–122; 2, с. 212–215; 5, с. 98–101]

Методы вычисления определённого интеграла. Непосредственное интегрирование. Приведение интеграла к одному или нескольким табличным интегралам с помощью свойства линейности и вычисление по формуле Ньютона — Лейбница [1, с. 125; 3, с. 92].

Замена переменной. Основан на теореме о замене переменной. Если

[1, c. 128; 5, c. 105]

Приближённые методы. Например, метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона (парабол). [3, c. 102-108;6, c. 75-80].

Интегрирование по частям. Составленный на теореме об интегрировании по частям. Если функции, для которых будут производные, то:

Важные замечания. При вычислении определённого интеграла всегда нужно проверить область определения и просмотреть возможные разрывы [1, c. 150]. Также, подынтегральная функция может не иметь элементарной первообразной, могут потребоваться геометрические соображения [3, c. 115]. Иногда в задачах на нахождение площади между двумя графиками нужно разбить отрезок на несколько частей [2, c. 250].

Вывод. Формула Ньютона-Лейбница – это надёжный инструмент для решения целого класса задач алгебры и анализа. Её глубокое понимание и автоматизация навыка применения существенно облегчают вычисление определённых интегралов.

Список литературы:

1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1. — Москва: Наука, 1978–1996.
2.  Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учебное пособие. — СПб.: Лань, 2009. — 464 с.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. — Москва: Физматлит, 2001. — 864 с.
4. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу: учебное пособие. — СПб.: Лань, 2009. — 464 с.
5. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. — Москва: Дрофа, 2003. — 704 с.
6. Шипачев В. С. Высшая математика: учебник для вузов. — Москва: Высшая школа, 2003. — 479 с.