ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АППАРАТА ОБОБЩЁННЫХ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ (ПСЕВДООБРАТНЫХ МАТРИЦ МУРА-ПЕНРОУЗА) ДЛЯ АНАЛИЗА ПЕРЕПРОИЗВОДСТВА И БАЛАНСИРОВКИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

​АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается проблема несовместности классической модели Леонтьева в условиях перепроизводства. Предлагается метод балансировки межотраслевого баланса с использованием псевдообратных матриц Мура-Пенроуза. Показано, что аппарат обобщённого обращения позволяет находить оптимальные корректировки выпуска, минимизирующие квадратичную невязку.

Ключевые слова: модель Леонтьева, псевдообратная матрица, матрица Мура-Пенроуза, перепроизводство, межотраслевой баланс, метод наименьших квадратов, матрица затрат-выпуска.

Классическая модель межотраслевого баланса (модель «Затраты — Выпуск»), разработанная лауреатом Нобелевской премии Василием Леонтьевым, долгое время остаётся основным инструментом макроэкономического планирования [1, с. 45]. Базовое уравнение модели имеет вид:

где: — вектор валового выпуска,

— вектор конечного спроса,

— матрица прямых затрат.

После преобразований получаем соотношение:

где: — единичная матрица,

носит название матрицы Леонтьева.

Однако в реальной экономической практике часто возникает ситуация, которую классическая модель не может корректно обработать: перепроизводство. Предположим, что в силу инерционности производственных мощностей фактический валовой выпуск уже сформирован и не может быть мгновенно изменён. Одновременно с этим вектор реального спроса населения не равен ожидаемому спросу . В этом случае уравнение становится несовместным, а классическая обратная матрица либо не существует (если матрица вырождена), либо даёт решение, не имеющее экономического смысла.

Для разрешения указанной проблемы целесообразно обратиться к аппарату обобщённого обращения матриц, а именно к псевдообратной матрице Мура-Пенроуза.

Псевдообратная матрица Мура-Пенроуза - альтернатива обратной матрицы для тех случаев, когда ее найти невозможно (прямоугольные или вырожденные матрицы).  Если обычная обратная матрица (А^-1) существует только для квадратных и «хороших» матриц, то псевдообратная матрица (А⁺) существует для любой матрицы. Она позволяет решать уравнения, где решений либо нет (несовместные), либо их бесконечно много.

Теоретическое обоснование метода

Псевдообратная матрица для произвольной матрицы размера

определяется как единственная матрица, удовлетворяющая четырём условиям Пенроуза [2, с. 112]:

Существенным для экономических приложений является то, что вектор минимизирует евклидову норму невязки:

Иными словами, псевдообращение позволяет найти такой вектор выпуска, который наилучшим образом (в смысле метода наименьших квадратов) соответствует реальному спросу.

Анализ перепроизводства и балансировка

Введём ключевые понятия.

Пусть — вектор фактического выпуска (известен из статистики).

Вычислим балансирующий спрос:

Вектор дисбаланса (рассогласования между спросом и предложением) определяется как:

Если компоненты вектора положительны, имеет место дефицит; если отрицательны — перепроизводство в соответствующей отрасли. Наша цель — найти минимальную корректировку выпуска такую, чтобы новый спрос был максимально близок к реальному. Оптимальное решение даётся формулой:

Уникальность подхода заключается в том, что псевдообратная матрица автоматически распределяет нагрузку по отраслям, минимизируя суммарный квадрат изменений . Это соответствует принципу наименьшего действия в экономике: переход к новому равновесию происходит с минимальными затратами ресурсов.

Численный эксперимент

Рассмотрим гипотетическую экономику, состоящую из трёх отраслей: «Энергетика» (отрасль 1), «Машиностроение» (отрасль 2) и «Агросектор» (отрасль 3). Матрица прямых затрат и соответствующая матрица Леонтьева имеют вид:

Ранг данной матрицы равен 3, следовательно, она обратима, однако мы искусственно создадим ситуацию перепроизводства, чтобы продемонстрировать возможности псевдообращения.

Исходные данные для эксперимента:

• Реальный спрос населения: .
• Фактический выпуск (ошибка планирования): .

Таблица 1.

Сравнение плановых и фактических показателей

Выполним расчёт балансирующего спроса по формуле (4):

Вектор дисбаланса согласно (5):

Полученные значения интерпретируются следующим образом: при текущем перепроизводстве в энергетике и АПК (отклонения +22 и +5) в экономике наблюдается дефицит конечного спроса на продукцию машиностроения в размере 28 единиц, а также некоторый дефицит в АПК (16 единиц), несмотря на общее перепроизводство. Это парадоксальная ситуация возможна из-за межотраслевых связей.

Поскольку матрица обратима( ), вычислим обратную матрицу с точностью до сотых:

Тогда оптимальная корректировка выпуска по формуле (6):

Метод псевдообращения позволяет также решать обратную задачу: если изменение выпуска невозможно (например, продукция уже произведена и находится на складах), можно вычислить скорректированный спрос, который эта продукция может удовлетворить.

Таким образом, применение аппарата обобщённых обратных матриц Мура-Пенроуза позволяет:

1. Анализировать перепроизводство не как ошибку, а как ограничение.
2. Находить минимальные корректировки выпуска для восстановления равновесия.
3. Оценивать скорректированный спрос в условиях жёстко заданного производства.

Дальнейшие исследования могут быть направлены на применение метода к прямоугольным матрицам затрат (например, при объединении отраслевых и региональных балансов) и к динамическим моделям Леонтьева.

Список литературы:

1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — 5-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 560 с.
2. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев. — М.: Экономика, 2007. — 479 с.
3. Пенроуз Р. Обобщённое обращение матриц и его приложения к статистике / Р. Пенроуз // Математика. — 1955. — Т. 19. — № 4. — С. 105–130.
4. Смирнов А.Д. Псевдообратные матрицы в задачах экономического моделирования / А.Д. Смирнов // Молодой учёный. — 2023. — № 12 (459). — С. 27–31. [электронный ресурс] — Режим доступа. — URL: https://moluch.ru/archive/459/101072/ (дата обращения: 11.05.2026).