СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В КУРСЕ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ НА ПРИМЕРЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ

​COMPARATIVE ANALYSIS OF NUMERICAL METHODS OF INTEGRATION IN THE COURSE OF HIGHER MATHEMATICS USING THE EXAMPLE OF A QUADRATIC FUNCTION

Vafina Shakira Raisovna

Student, Ulyanovsk State Technical University (UlSTU)

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific supervisor, Ph.D. physics and mathematics Assoc. Sc., Ulyanovsk State Technical University (UlSTU),

Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

Актуальность. В высшей математике часто приходится считать определённые интегралы. Но не всегда можно найти точную формулу. Тогда используют численные методы. В статье сравниваются три таких метода: левых прямоугольников, трапеций и Симпсона. Для примера взят простой интеграл от 0 до 1 от x². Разбиение взяли n = 4. Посчитали погрешность каждого метода. У прямоугольников вышло 0,114583, у трапеций — 0,010417, а у Симпсона — ровно ноль (потому что для квадратичной функции он даёт точный ответ). В итоге метод Симпсона самый точный, трапеции дают нормальную точность при небольших расчётах, а прямоугольники без большого числа разбиений лучше не брать. Материал пригодится студентам при изучении численных методов.

ABSTRACT

Relevance. In higher mathematics, it is often necessary to calculate definite integrals. However, it is not always possible to find an exact formula. In such cases, numerical methods are used. This article compares three such methods: left-hand rectangles, trapezoids, and Simpson's rule. As an example, we consider a simple integral from 0 to 1 of x². We use a partition of n = 4 and calculate the error for each method. The rectangles gave 0.114583, the trapezoids gave 0.010417, and the Simpson method gave exactly zero (because it gives an exact answer for a quadratic function). As a result, the Simpson method is the most accurate, the trapezoids give good accuracy for small calculations, and the rectangles should not be used without a large number of divisions. This material will be useful for students studying numerical methods.

Ключевые слова: Высшая математика, численное интегрирование, метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона, квадратичная функция, погрешность.

Keywords: Higher mathematics, numerical integration, rectangle method, trapezoid method, Simpson method, quadratic function.

Введение

В курсе высшей математики для студентов технических направлений одной из фундаментальных задач выступает нахождение определённого интеграла:

На практике довольно часто встречаются ситуации, когда подынтегральная функция f(x) не позволяет получить первообразную в элементарных функциях либо её аналитическое выражение отсутствует (например, при обработке экспериментальных данных, где значения известны лишь в отдельных точках). В таких случаях точной формулы нет, и приходится пользоваться приближёнными, численными методами.

В этой работе я сравнила три самых известных метода:

• метод левых прямоугольников;
• метод трапеций;
• метод Симпсона (параболический).

Все расчёты сделала для одного и того же примера, с одинаковым количеством разбиений. Это помогло честно сравнить, какой метод точнее.

Методика расчёта

Рассмотрим равномерное разбиение отрезка [a,b] на n элементарных сегментов. Введём следующие обозначения:

• величина шага: h = (b−a) /n​;
• координаты узлов:   = a+i⋅h,  i = 0,  1,…,n;
• значения подынтегральной функции в узлах: = f().

Формула левых прямоугольников

Здесь площадь под кривой заменяется суммой прямоугольников. Высота каждого берётся на левом конце частичного отрезка:

Формула трапеций

Тут на каждом маленьком отрезке вместо кривой берётся прямая, и получается трапеция. Это чуть точнее, чем прямоугольники.

Формула Симпсона (парабол)

Данный метод требует чётного количества разбиений n. На каждом сдвоенном промежутке [,++2 ]

интегрируемая функция приближается квадратичной параболой, проходящей через три последовательные точки. Итоговое выражение имеет вид:

Проведение вычислительного эксперимента

Для сопоставления методов выбран интеграл

поскольку его точное значение легко находится аналитически:

Зададим число разбиений n=4. Тогда шаг h=0.25. Узлы и соответствующие им значения функции представлены ниже:

Расчёт по методу левых прямоугольников:

I лев = 0.25⋅(0+0.0625+0.25+0.5625)=0.25⋅0.875=0.21875.

Величина абсолютной погрешности составляет:

Δлев = ∣0.21875−0.333333∣=0.114583.

Расчёт по методу трапеций:

I трап = 0.25⋅(+0.0625+0.25+0.5625)=0.25⋅(0.5+0.875)=0.25⋅1.375=0.34375. Соответствующая погрешность:

Δ трап = ∣0.34375−0.333333∣=0.010417.

Расчёт по методу Симпсона:

I симп  =   (0+1+4(0.0625+0.5625)+2⋅0.25)=

(1+4⋅0.625+0.5)=⋅4=≈0.333333.

Погрешность оказывается нулевой:

Δ симп = 0.

Анализ полученных данных

Результаты вычислений сведены в таблицу 1.

Таблица 1.

Сопоставление квадратурных формул

Из таблицы видно, что прямоугольники ошиблись сильнее всего — примерно на 34%. Это логично, потому что функция x² растёт, и прямоугольники всё время берут высоту ниже, чем надо.

Заключение

Проведённое сопоставление трёх численных методов интегрирования в рамках курса высшей математики позволяет сформулировать следующие положения:

1. Наибольшей точностью среди рассмотренных подходов обладает метод Симпсона; его недостатком можно считать несколько более громоздкие выкладки по сравнению с двумя другими методами.
2. Метод трапеций представляет собой разумный компромисс между точностью и вычислительными затратами, что делает его пригодным для широкого круга практических задач.
3. Левые прямоугольники стоит использовать либо с очень большим числом разбиений, либо только для учебных примеров, чтобы понять принцип.

Представленные в работе материалы могут использоваться в учебном процессе при изучении раздела «Численные методы» студентами технических специальностей.

Благодарности

Автор выражает признательность научному руководителю Кирееву Сергею Владимировичу за постановку исследовательской задачи, конструктивные замечания и помощь в подготовке данной публикации.

Список литературы:

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — 6-е изд. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2015. — 636 с.
2. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — 840 с.
3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — 7-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 672 с.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978. — 512 с.
5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989. — 432 с.