ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ В АСТРОНОМИИ И АСТРОФИЗИКЕ

​CONVEX PROGRAMMING IN ASTRONOMY AND ASTROPHYSICS

Aladina Yuliana Alekseevna

Student, Department of Economics and Management, Ulyanovsk State Technical University,

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific Supervisor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University (UlSTU),

Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются методы выпуклого программирования, где областями применения предстают астрономия и астрофизика. Способ помогает в восстановлении изображений, разделении источников излучения, оценке параметров орбит. Проанализированы методы проксимального градиента и полуопределённого программирования при обработке данных с телескопов (интерферометрия, спектроскопия, гравитационное линзирование). Регуляризация по Тихонову, LASSO позволяют устойчиво восстанавливать изображения по неполным и зашумлённым данным. Также затронуты ограничения классических методов и способы их обхода.

ABSTRACT

This article discusses convex programming methods, where astronomy and astrophysics are areas of application. This method helps in image reconstruction, separation of radiation sources, and estimation of orbit parameters. The methods of proximal gradient and semi-definite programming in processing data from telescopes (interferometry, spectroscopy, gravitational lensing) are analyzed. Tikhonov regularization, LASSO, make it possible to steadily reconstruct images from incomplete and noisy data. The limitations of classical methods and ways to circumvent them are also touched upon.

Ключевые слова: выпуклое программирование, обратные задачи, восстановление изображений, радиоинтерферометрия, космология, оптимизация, астрофизика.

Keywords: convex programming, inverse problems, image restoration, radiointerferometry, cosmology, optimization, astrophysics.

Достаточно долгое время обработка данных в астрономии и астрометрии опиралась на линейные методы (фильтр Гаусса для подавления шума на изображениях, свёртка, используемая для улучшения качества снимков). Однако с ростом разрешающей способности телескопов и объёмов данных выяснилось, что «большинство задач – это некорректные обратные задачи, где и самый малый шум приводит к огромным ошибкам» [1, с. 363-370]. Чтобы предотвратить существенные погрешности, в астрофизике, стали применять выпуклое программирование - раздел оптимизации, в котором минимизируется выпуклая целевая функция на выпуклом множестве. Данный вид программирования гарантирует единственность решения и устойчивость. «Для астрофизики, имеющей дело с терабайтами данных и жёсткими требованиями к воспроизводимости результатов, это свойство становится решающим» [1, с. 162-164]. Далее в статье будет рассмотрено, как выпуклая регуляризация позволяет восстанавливать изображения по неполным данным в радиоинтерферометрии, разделять вклады источников при гравитационном линзировании, оценивать параметры экзопланетных систем и обрабатывать карты реликтового излучения.

1. Постановка задачи и регуляризация

- истинное распределение яркости на небесной сфере. Регистрируемый сигнал связан с x-линейным оператором A и аддитивным шумом n: . Обратная задача - по известным «y» и «A» восстановить «x». Вычисление будет невозможно, так как оператор «A» либо необратим, либо его обращение неустойчиво (малые изменения y вызывают сколь угодно большие изменения решения). В таком случае, выходом из ситуации становится регуляризация. Вместо точного решения минимизируем функционал, учитывающий одновременно различия между данными и априорные предположения о структуре x:

min{x ∈ C}( 1/2 ||Ax - y||_2² + λ R(x) )

«(C - выпуклое множество ограничений (например, неотрицательность яркости), R(x) - регуляризирующий функционал, λ> 0 - параметр, балансирующий между верностью данным и гладкостью/разреженностью решения» [5, с. 101]).

Если R(x) является выпуклым функционалом и множество C выпуклo, тогда первая задача является задачей выпуклого программирования. Этo означает, что любой локальный минимум является глобальным, а градиентные метoды сходятся к нему со скоростью, не зависящей от начального приближения.

Выбор R(x) определяется физическими ожиданиями:

(регуляризация Тихонова) даёт гладкие решения;

(LASSO) обеcпечивает разреженность — множество нулевых компонент

«восстанавливает кусочно-постоянные изображения, типичные для галактик с резкими границами» [1, с. 363-370].

2. Применение выпуклого программирования в радиоинтерферометрии

Современные радиотелескопы (ALMA, VLA, SKA) представляют собой антенные решётки, разнесённые на десятки километров. Они дают не картинку, а набор видимостей — преобразование Фурье от неба, измеренное в отдельных точках. Традиционный алгоритм CLEAN, используемый с 1970-х годов, в большей степени опирается на интуицию и уже имеющийся опыт, а не на математические вычисления. Современный подход состоит в том, чтобы заменить его выпуклой оптимизацией. Он превосходит CLEAN по разрешающей способности для слабых источников и даёт количественные оценки неопределённости восстановления.

В случае, когда по кривой блеска звезды нужно восстановить параметры планетной системы, задача является невыпуклой в силу нелинейных ограничений, но её можно решить при построении выпуклой релаксации (замена невыпуклых ограничений на выпуклые) даёт некоторое неточное, но начальное приближение для последующего уточнения. Такой подход носит название «последовательной выпуклой аппроксимации» и распространен в экзопланетной астрофизике [3, с.181-188], [2, с. 320-330].

Как уже известно из теории гравитационного линзирования, известно, что массивные объекты, такие как галактики, скопления, искривляют пространство и время, создавая несколько изображений одного далёкого источника. Наблюдая искажённые дуги и кратные изображения, в астрофизике вoзникает задача с необходимостью восстановить распределение поверхностной плотности линзы, т.е. задача, приводящая к нелинейной обратной проблеме. Однако если предположить, что линза имеет гладкую структуру, а источники разрежены, задача может быть решена в два этапа. На первом из них фиксируются параметры линзы и решается выпуклая подзадача восстановления источников. На втором - параметры линзы уточняются. Такая «схема последовательной выпуклой аппроксимации сходится к стационарной точке исходной невыпуклой задачи» [3, с. 259-262]. Особую роль в таком методе играет полуопределённое программирование (SDP). «SDP-релаксации позволяют глобально оптимизировать задачи фазового поиска в интерферометрии, которые иначе застревают в локальных минимумах» [2, с. 345-360].

3. Обработка карт реликтового излучения

Часть неба закрыта нашей Галактикой, её излучение на определенных длинах волн на несколько порядков ярче реликтового. Возникает задача матричного пополнения: восстановить пропущенные пиксели карты по известным, используя априорное предположение о статистике CMB (минимизация ядерной нормы)

∥X∥* - сумма сингулярных чисел «X», а PΩ - проекция на наблюдаемые пиксели. «Функционал выпуклый и решается методом ADMM» [3, с. 15-301]. «Практические расчёты показывают, что восстановленные карты CMB после удаления галактического фона сохраняют угловой спектр мощности с ошибкой менее 1% в диапазоне мультиполей» [2, с. 175-190].

4. Ограничения и пути их преодоления

Несмотря на успехи, выпуклое программирование не является универсальным решением.  Уравнение (1) предполагает линейную связь между «x» и «y». В астрофизике не всегда прослеживается линейная связь, как, например, это было в первом пункте. Эффект гравитационного линзирования нелинеен, спектроскопические зависимости содержат экспоненты, модели орбит — тригонометрические функции. Для таких задач приходится использовать последовательное выпуклое программирование (SCP) [1, с. 363-370]. В выборе параметра регуляризации слишком малый параметр даёт зашумлённое изображение, слишком большое - чрезмерно сглаживает детали. Стандартные методы (L-кривая, перекрёстная проверка) требуют многократного решения задачи при разных таких параметрах и становятся вычислительно дорогими для больших размерностей. В качестве альтернативы часто используют эмпирический байесовский метод, где параметр включается в число оцениваемых иных параметров [4, с. 175-190]. Многие астрофизические задачи изначально невыпуклы. В таком случае выпуклая релаксация даёт лишь нижнюю оценку глобального минимума. Для получения точного решения применяют «методы глобальной оптимизации с последующим локальным уточнением, но их вычислительная сложность растёт в зависимости от размеров» [3, с. 15-30]. В современной астрофизике выпуклое программирование используется все чаще: в обработке и оптимизации колоссального количества информации, восстановлении изображений черных дыр, восстановлении положений нескольких миллионов звезд.

Имеет место сделать вывод, что выпуклое программирование на сегодняшний день стало рабочим и эффективным инструментом в астрофизике, позволяющий извлекать максимум из зашумлённых и неполных данных. Классические (Регуляризация по Тихонову, LASSO) и современные методы позволяют решать задачи, которые еще десяток лет назад считались неразрешимыми. Телескопы следующего поколения смогут предоставлять такие потоки данных, которые невозможно обработать без выпуклой оптимизации. «Переход от интуитивных алгоритмов к выпуклым постановкам даёт не только более качественные изображения, но и количественные оценки неопределённости, что критически важно для подтверждения новых физических открытий» [1, с. 363-370].

Список литературы:

1. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач: учебное пособие. — Санкт-Петербург: Лань, 2020. — 552 с.
2. Немировский А. С. Современное выпуклое программирование: учебное пособие. —Москва: МЦНМО, 2018. — 384 с.
3. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию: учебное пособие. — 3-е изд., испр. и доп. — Москва: ТОРУС ПРЕСС, 2020. — 398 с.
4. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— Москва: Наука, 1986. — 288 с.
5. Журавлёв Ю. И., Марков А. В., Савельев К. В. Методы выпуклой оптимизации в задачах обработки астрофизических данных // Астрофизический бюллетень. — 2021. — Т. 76, № 4. — С. 491--505.
6. Куликов И. М., Новикова Е. П. Выпуклое программирование в радиоинтерферометрии: восстановление изображений и фазовый поиск // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. — 2022. — Т. 21, № 3. — С. 67--80.