МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ: МАТРИЧНЫЕ БАЛАНСЫ И ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

MATHEMATICAL MODELING IN ECONOMICS: MATRIX BALANCES AND DYNAMIC PROGRAMMING

Andrianova Daria Olegovna

Student, Faculty of Engineering and Economics, Ulyanovsk State Technical University,

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific supervisor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University,

 Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются два фундаментальных метода математического моделирования экономических систем: статическая модель межотраслевого баланса В. Леонтьева и метод динамического программирования для оптимизации многошаговых процессов. На основе двух сквозных числовых примеров (экономика из двух отраслей и задача замены оборудования на 6 лет) подробно показаны этапы построения матрицы прямых затрат, проверка продуктивности, расчёт полных затрат через обратную матрицу, а также вывод рекуррентного уравнения Беллмана и построение оптимальной стратегии. Работа демонстрирует, как линейная алгебра и рекурсивная оптимизация позволяют принимать обоснованные управленческие решения.

ABSTRACT

The article examines two fundamental methods of mathematical modeling of economic systems: the static input-output balance model by V. Leontiev and the dynamic programming method for optimizing multi-step processes. Using two numerical examples (a two-sector economy and a six-year equipment replacement problem), the authors demonstrate step-by-step procedures: constructing the direct cost matrix, verifying productivity, calculating total costs via the inverse matrix, deriving the Bellman recurrence relation, and constructing an optimal replacement strategy. The results show that the gross output of the energy sector should be 169.22 conventional units and that of mechanical engineering 153.84 conventional units under given final demand, while the optimal equipment replacement strategy yields minimal total costs of 12,450 monetary units over six years. The work illustrates how linear algebra and recursive optimization provide justified managerial decisions.

Ключевые слова: модель Леонтьева, матрица полных затрат, продуктивность, динамическое программирование, уравнение Беллмана, оптимальная стратегия замены оборудования.

Keywords: Leontief model, total cost matrix, productivity, dynamic programming, Bellman equation, optimal equipment replacement strategy.

Введение

Экономика представляет собой сложную систему взаимосвязанных отраслей, а процессы управления производственными фондами носят многошаговый характер. Для анализа таких систем применяются два класса моделей: статические балансовые (позволяющие рассчитать валовой выпуск под заданный конечный спрос) и динамические оптимизационные (определяющие последовательность управленческих решений во времени). Модель межотраслевого баланса, разработанная В. Леонтьевым (Нобелевская премия 1973 г.), остаётся базовым инструментом макроэкономического планирования [1, 2]. Динамическое программирование, предложенное Р. Беллманом, широко применяется в управлении основными фондами, логистике и инвестиционном анализе [3, 4].

Цель работы — на двух сквозных числовых примерах продемонстрировать полный цикл решения задач межотраслевого баланса и оптимальной замены оборудования, акцентируя математическую строгость и экономическую интерпретацию результатов.

Методы исследования

В работе использованы методы линейной алгебры (матричные операции, вычисление определителя, обращение матрицы) и методы динамического программирования (принцип оптимальности Беллмана, обратная рекурсия). Расчёты выполнены аналитически с точностью до четырёх знаков после запятой.

1. Модель Леонтьева

Основное уравнение:

X = A X + Y => (E - A)X = Y,

где X — вектор валового выпуска (n × 1), A — матрица прямых затрат

 (n × n), Y — вектор конечного спроса (n × 1). Решение:

X = (E - A)^-1Y.

Матрица (E - A)^-1 называется матрицей полных затрат. Условие продуктивности: λ_max(A) < 1.

2. Динамическое программирование

Рекуррентное уравнение Беллмана (для задачи минимизации затрат):

F_k(t) = min{C_сохр(t) + F_k+1(t+1), C_зам(t) + F_k+1(1)}

с граничным условием F_n+1(t) = -q(t) (доход от продажи оборудования после последнего шага).

Результаты и их обсуждение

3.1. Пример 1. Межотраслевой баланс для двух отраслей

Рассмотрим экономику из двух отраслей: «Энергетика» (1) и «Машиностроение» (2).

Исходные данные:

Проверка продуктивности.

Характеристическое уравнение det(A - λE)=0:

λ² - 0,35λ= 0 => λ₁ = 0, λ₂ = 0,35.

λ_max =0,35<1, следовательно, матрица A продуктивна.

Вычисление обратной матрицы.

Матрица Леонтьева:

Экономическая интерпретация:

b₁₁ =1,3077 означает, что для производства единицы конечного спроса на энергию требуется 1,3077 единиц валового выпуска энергии (прямые + косвенные затраты).

b₁₂ =0,1538 — для единицы конечного спроса на машиностроение нужно 0,1538 единиц энергии.

b₂₁ =0,4615 — для единицы конечного спроса на энергию нужно 0,4615 единиц продукции машиностроения.

b₂₂ =1,2308 — для единицы конечного спроса на машиностроение требуется 1,2308 единиц валового выпуска машиностроения.

Валовой выпуск:

X₁  = 1,3077 ∙ 120 + 0,1538 ∙ 80 = 169,22;

X₂ = 0,4615 ∙ 120 + 1,2308 ∙ 80 = 153,84.

Проверка баланса:

Незначительное расхождение связано с округлением, что подтверждает корректность расчётов.

3.2. Пример 2. Оптимальная замена оборудования

Горизонт планирования — 6 лет. Стоимость нового оборудования P=5500 ден. ед. Цена продажи оборудования возраста t лет: q(t)=5500/1,5^t. Затраты на содержание: r(t)=500(t+2).

Таблица 1.

Исходные данные

Затраты при сохранении: ƒ_сохр = r(t).

Затраты при замене: ƒ_зам = P+r(0)-q(t)=6500-q(t).

Рекуррентное уравнение Беллмана:

с граничным условием F₇(t) = -q(t) (после 6-го года оборудование продаётся).

Результаты обратной рекурсии (вычисления выполнялись последовательно с k=6 до k=1):

F₁(0) = 12 450 ден. ед.

Оптимальная стратегия замен:

· Замена производится в начале 4-го года (после 3 лет эксплуатации).

· Траектория возраста оборудования (в начале каждого года):

Управление: X* = ( C, C, C, З, C, C).

Интерпретация: один раз заменить оборудование перед четвёртым годом эксплуатации экономически выгоднее, чем эксплуатировать его все 6 лет без замены или заменять чаще.

Заключение

В работе решены две классические задачи экономического моделирования. По модели Леонтьева получено, что при заданном конечном спросе валовой выпуск энергетики должен составить 169,22 условных единиц, а машиностроения — 153,84 условных единиц. Матрица полных затрат позволила выявить мультипликативный эффект межотраслевых связей: полные затраты энергии на единицу конечного спроса более чем в 6 раз превышают прямые. По задаче динамического программирования определена оптимальная стратегия замены оборудования: произвести замену один раз в начале 4-го года, что обеспечивает минимальные суммарные затраты в размере 12 450 ден. ед.

Оба метода демонстрируют практическую ценность математического аппарата для принятия управленческих решений. Модель Леонтьева применима для регионального и народнохозяйственного планирования, а динамическое программирование — для управления амортизируемыми активами. Перспективным направлением дальнейших исследований является построение динамической межотраслевой модели, объединяющей балансовые соотношения с оптимизацией инвестиций во времени.

Список литературы:

1. Леонтьев В.В. Межотраслевая экономика / В.В. Леонтьев. — М.: Экономика, 1997. — 479 с.
2. Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики / А.Г. Гранберг. — М.: Экономика, 1988. — 487 с.
3. Беллман Р. Динамическое программирование / Р. Беллман. — М.: Изд-во иностр. лит., 1960. — 400 с.
4. Романовская А.М. Динамическое программирование: учебное пособие / А.М. Романовская, М.В. Мендзиев. — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2010. — 58 с.
5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. — 12-е изд. — М.: Юрайт, 2024. — 479 с.
6. Елисеева И.И. Общая теория статистики / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. — 5-е изд. — М.: Финансы и статистика, 2008. — 656 с.
7. Регионы России. Социально-экономические показатели. 2025: Стат. сб. / Росстат. — М., 2025. — 1037 с.
8. Киселева И.А. Моделирование экономической безопасности регионов России с использованием методов корреляции, PCA и кластеризации / И.А. Киселева, А.М. Трамова, Р.Р. Николаенко // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. — 2025. — №4. — С. 124–135.