ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ: СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ И ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ

​АННОТАЦИЯ

В статье анализируется четыре базовые теоремы дифференциального исчисления - Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Прослеживается, как необходимый признак экстремума (теорема Ферма) через теорему Ролля и Лагранжа приводит к наиболее общему случаю двух функций (теорема Коши). Показано, где эти результаты реально работают: в задачах оптимизации, численных методах, физических моделях и экономических расчётах. Для иллюстрации приведены конкретные числовые примеры с формулами Лагранжа и Коши, а также таблица с оценкой погрешности при вычислении логарифма. На основе проведенного анализа сделан вывод об их практической значимости в решении задач.

Ключевые слова: теорема Ферма; теорема Ролля; теорема Лагранжа; теорема Коши; дифференциальное исчисление; математический анализ; прикладные задачи.

Теоремы, заложившие фундамент дифференциального исчисления - теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши составляют теоретическую основу для анализа поведения функций и решения большого количества прикладных задач. Данные утверждения демонстрируют последовательную прогрессию: каждая последующая теорема представляет собой обобщение предыдущей, тем самым значительно расширяя сферу её применимости. Для понимания сути каждой из них, начнем с рассмотрения основополагающего.

Теорема Ферма устанавливает необходимое условие локального экстремума дифференцируемой функции. «Если функция определена в некоторой окрестности точки, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение и имеет в ней конечную или определенного знака бесконечную производную, то эта производная равна нулю.» [2, с. 314]. Геометрически это означает, что касательная к графику функции в точке экстремума параллельна оси абсцисс. Теорема Ферма служит отправной точкой для исследования функций на экстремум и лежит в основе многих методов оптимизации, применяемых в экономике, инженерии и машинном обучении.

Прямым следствием теоремы Ферма является теорема Ролля, применяемая к функциям, принимающим одинаковые значения на концах отрезка. «Пусть функция непрерывна на сегменте [a,b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a)=f(b). Тогда внутри сегмента [a,b] найдется точка c такая, что значение производной в этой точке f’(c) равно нулю.» [3, с.259]. Геометрический смысл заключается в том, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс. Эта теорема находит применение в доказательстве других утверждений математического анализа и в задачах, связанных с исследованием корней уравнений.

Теорема Лагранжа (формула конечных приращений) обобщает теорему Ролля на случай произвольных значений функции на концах отрезка. Если функция f(x): 1) непрерывна на отрезке [a,b]; 2) дифференцируема на интервале (a,b), то существует точка c∈(a,b), такая что f(b)−f(a)=f’(c)(b−a). Формула Лагранжа позволяет оценить изменение функции через её производную и широко используется в численных методах, теории приближений, а также для доказательства неравенств и исследования поведения функций. Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении её условий на кривой обязательно существует такая точка, в которой касательная параллельна отрезку (хорде), соединяющему две заданные точки на графике.

Наиболее общим утверждением из рассматриваемых является теорема Коши, представляющая собой обобщение формулы Лагранжа на случай двух функций. Пусть функции f(x) и g(x): непрерывны на отрезке [a,b];  дифференцируемы на интервале (a,b) и  g′(x) ≠ 0 для всех x∈(a,b). Тогда существует точка c∈(a,b), такая что = .  В. А. Ильин и Э. Г. Позняк в своих „Основах математического анализа“ подчёркивают, что эта теорема играет ключевую роль в обосновании правила Лопиталя, без которого раскрытие неопределённостей типа было бы трудным. [3, с.303]. Между рассматриваемыми теоремами существует логическая связь, которая образует единую цепочку обобщений. Теорема Ферма - база, устанавливающая условие экстремума. Теорема Ролля следует из неё: если функция принимает равные значения на концах отрезка, то либо она постоянна (и производная всюду равна нулю), либо имеет экстремум внутри отрезка, где производная по теореме Ферма равна нулю. Теорема Лагранжа обобщает теорему Ролля: если рассмотреть вспомогательную функцию F(x) = f(x)-, то для неё выполняются условия теоремы Ролля, откуда и получается формула Лагранжа. В завершение отметим, что теорема Коши выступает в роли более общего результата: при g(x)=x она сводится к теореме Лагранжа.

Практическая значимость этих результатов хорошо видна на конкретных числовых выводах. Для наглядного понимания рассмотрим два примера.

Пример 1. Оценим изменение функции f(x)=lnx на отрезке [1,2] с помощью формулы Лагранжа.  По теореме существует c∈ (1,2), такое что ln2−ln1 = откуда ln2 = . Поскольку c∈ (1,2), получаем , что даёт грубую оценку значения ln2.

Пример 2. Проверим выполнение теоремы Коши для функций f(x) = х² и g(x) = x на отрезке [1,3]. Вычисляем: , а. Приравнивая, получаем 2c = 4⇒c = 2∈ (1,3), что подтверждает теорему.

Для наглядного представления того, как меняется точность метода в зависимости от отрезка, ниже приведена расчётная таблица.

Таблица 1.

Оценка значений натурального логарифма по формуле Лагранжа

После проведенных исследований следует вывод, что теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши являются «скелетом» дифференциального исчисления. Если посмотреть на эти теоремы в порядке их сложности, видно, как математика шаг за шагом переходила от простого частного случая (когда у функции есть максимум или минимум) к самому общему правилу (как связаны производные двух функций). Эти теоремы постоянно применяют на практике - в программах, которые что-то вычисляют, и в экономических расчётах. Это доказывает их пользу. Без них не получится по-настоящему понять высшую математику и решать серьёзные прикладные задачи.

Список литературы:

1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. - М.: Физматлит, 2001. - 680 с.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. - М.: Дрофа, 2003. - 704 с.
3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. 1. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.
4. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1990. - 624 с.
5. Зорич В. А. Математический анализ. Ч. 1. - М.: МЦНМО, 2012. - 702 с.