ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА СИНГУЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ СЖАТИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ

APPLICATION OF THE SINGULAR VALUE DECOMPOSITION METHOD FOR IMAGE COMPRESSION

Zimin Anton Dmitrievich

1st year student, Department of Higher Mathematics, Ulyanovsk State Technical University

Russia, Ulyanovsk

Kireev Sergey Vladimirovich

Scientific supervisor, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Ulyanovsk State Technical University

Russia, Ulyanovsk

АННОТАЦИЯ

Данная статья посвящена исследованию эффективного метода сжатия растровых изображений, основанного на сингулярном разложении матриц - SVD. В ней изложены ключевые теоретические основы метода, алгоритм его реализации и сравнение качества изображения при использовании различного количества сингулярных чисел. Для проведения сравнения был проведен эксперимент, результаты которого показывают, что метод сжатия SVD позволяет достичь высокой степени сжатия при сохранении визуального качества.

ABSTRACT

This article is devoted to the study of an effective method of bitmap image compression based on singular matrix decomposition - SVD. It outlines the key theoretical foundations of the method, the algorithm for its implementation, and a comparison of image quality using different numbers of singular numbers. To make a comparison, an experiment was conducted, the results of which show that the SVD compression method allows you to achieve a high degree of compression while maintaining visual quality.

Ключевые слова: сингулярное разложение; сжатие изображений; численные методы; PSNR; линейная алгебра; SVD.

Keywords: singular value decomposition; image compression; numerical methods; PSNR; linear algebra; SVD.

В современном мире вместе с усложнением цифровых технологий, усложняются задачи обработки огромного количества данных. Это наиболее актуально в случае хранения или передачи цифровых изображений, качество которых продолжает расти. Классические методы сжатия на подобии JPEG или PNG основаны на дискретном косинусном преобразовании, однако существует и другой метод – сингулярное разложение матриц SVD.

Разберем пример работы SVD. Пусть дана матрица A размера m x n. Ее сингулярное разложение будет иметь вид:

U - ортогональная матрица размера m x n

V - ортогональная матрица размером n x n

∑ - ортогональная матрица размера m x n с неотрицательными сингулярными числами  на диагонали [1, c. 262]

Принцип сжатия состоит в том, чтобы сохранить только k наибольших сингулярных чисел и соответствующие им k столбцов U и V. Тогда приближенное восстановление изображения:

Требует хранения  чисел, вместо исходных m*n. Коэффициент сжатия вычисляется как:

Для эксперимента возьмем изображение размером 512x512 пикселей (рис. 1). Сжатие проводилось с различными значениями k: 128, 64, 32, 16. Качество оценивалось метрикой PSNR, измеряющей соотношение между максимально возможной мощностью полезного сигнала и мощностью искажаемого шума, измеряясь в (дБ) [2].

Таблица 1.

Оценочное сравнение степени сжатия изображения

Рисунок 1. Сравнение оригинального и сжатых изображений

На рисунке 1 изображены сжатые изображения, где со 2 по 4 продемонстрированы степени сжатия при k = 16, 32, 64 соответственно. Таблица 1 демонстрирует, что при сжатии k = 64 и k = 32 человек хорошо воспринимает сжатое изображение, но при k = 16 уже виднеются артефакты, это мы и наблюдаем на наглядном примере. Несмотря на то, что SVD не является самым быстрым методом сжатия, он обеспечивает оптимальную аппроксимацию. За счет этого метод SVD является прямой альтернативой JPEG и PNG. Метод сингулярного разложения демонстрирует силу линейной алгебры в практическом применение в сфере цифровой обработки сигналов. С помощью SVD специалисты имеют возможность разрабатывать собственные алгоритмы сжатия данных, что позволит им глубже понять спектральные свойства матриц и на основе данного метода разработать более эффективный способ сжатия изображений.

Список литературы:

1. Квасов Б.И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Новосибирск: НГУ. 262 с.
2. Богданова Н.А., Зыбина Ю.С., Шпакова Е.С. Использование сингулярного разложения матриц для сжатия электронно-микроскопических изображений // Экономические и социально- гуманитарные исследования. 2016. № 2 (10). С. 7-11.
3. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. М.: Мир, 2000. 430 с.