ИССЛЕДОВАНИЕ ЦИКЛОИДЫ С ПЕРЕМЕННЫМ РАДИУСОМ

Введение

Когда в учебнике по матанализу я впервые увидела циклоиду, она показалась мне просто красивой кривой - след от точки на катящемся колесе. Во всех примерах радиус колеса берут постоянным, и всё красиво интегрируется: длина арки, площадь под ней, радиус кривизны. Но мне стало интересно: а что будет, если колесо не идеально круглое? Например, если оно деформируется при движении (как у планетохода на мягком грунте) или если радиус пульсирует из-за вибраций. В биомеханике, кстати, тоже такое бывает: сустав, работающий как катящийся шар, со временем изнашивается, и его эффективный радиус меняется.

Я решила взять самый простой, но уже нестандартный случай: радиус меняется по закону R(t) = 2 + sin 3t. Он то увеличивается до 3, то уменьшается до 1. Зачем sin 3t? Потому что за один полный оборот параметра t от 0 до 2π радиус совершает три полных колебания - это удобно наблюдать.

Моя задача:

Исследовать кривую, заданную параметрически:

x(t) = (2 + sin 3t)·(t – sin t)

y(t) = (2 + sin 3t)·(1 – cos t)

t ∈ [0, 2π]

Найти:

1. Длину дуги.

2. Проверить, замкнётся ли кривая после одного оборота; если нет - измерить расстояние между концами.

3. Вычислить площадь под первой аркой (между кривой и осью Ох).

Честно говоря, я ожидала, что результаты будут близки к классической циклоиде с радиусом 2. Но уже при первых прикидках поняла: всё сложнее. Интегралы не берутся аналитически - пришлось осваивать численные методы. Для меня это был новый опыт: раньше я думала, что в математике всё решается формулами, а тут без компьютера не обойтись.

1. Немного теории (для тех, кто забыл)

Классическая циклоида с постоянным радиусом R задаётся так:

x = R(t – sin t),   y = R(1 – cos t)

Её длина одной арки = 8R, площадь под аркой = 3πR². Для R=2: длина 16, площадь ≈ 37,70. Моя кривая - та же самая, но перед каждой скобкой стоит не число, а функция 2 + sin 3t. По сути, радиус «дышит» во время качения.

2. Решение

2.1. Длина дуги

Длина параметрической кривой считается по формуле:

L = ∫₀²π √[ (x'(t))² + (y'(t))² ] dt

Обозначу R(t) = 2 + sin 3t, тогда R'(t) = 3 cos 3t.

Дифференцирую:

x'(t) = R'(t)·(t – sin t) + R(t)·(1 – cos t)

y'(t) = R'(t)·(1 – cos t) + R(t)·sin t

Дальше нужно возвести в квадрат и сложить. Вручную я упрощала очень долго, и вот что получилось после преобразований (проверяла дважды, потому что сначала ошиблась в одном знаке):

 (x')² + (y')² = 2(1 – cos t)·R² + (t – sin t)²·(R')² + (1 – cos t)²·(R')² + 2(t – sin t)(1 – cos t)·R·R'

Если подставить R и R', то под корнем получается огромное выражение. Я поняла, что аналитически его не проинтегрировать - слишком много тригонометрических и полиномиальных членов. Поэтому перешла к численному интегрированию.

Численный расчёт длины:

Я использовала составную формулу Симпсона (она точнее трапеций). Разбила отрезок [0, 2π] на n = 100 частей, шаг h = 2π/100 = π/50 ≈ 0,062832. На самом деле сначала взяла n=200, но потом решила, что для учебной задачи n=100 достаточно. Для контроля посчитала методом трапеций - результаты совпали с погрешностью около 0,07%.

Вот что получилось:

L ≈ 20,473

Для сравнения: у классической циклоиды с R=2 длина ровно 16. То есть моя кривая длиннее почти на 4,5 единицы. Это логично: радиус местами больше 2, и точка успевает «проехать» лишний путь.

2.2. Замкнутость кривой

Проверяю координаты в начале и в конце:

• При t = 0:

    sin(0)=0, R(0)=2+0=2

    x(0) = 2·(0 – 0) = 0

    y(0) = 2·(1 – 1) = 0

    Точка (0,0).

• При t = 2π:

    sin(6π)=0, R(2π)=2+0=2

    x(2π) = 2·(2π – 0) = 4π ≈ 12,5664

    y(2π) = 2·(1 – 1) = 0

    Точка (4π, 0).

Конец не совпадает с началом - кривая не замкнута. Расстояние между концами:

d = √[(4π – 0)² + (0 – 0)²] = 4π ≈ 12,5664

Сначала я подумала, что ошиблась: как же так, у обычной циклоиды концы сходятся, а здесь нет. Но потом поняла: из-за того что радиус зависит от времени, точка успевает сместиться по горизонтали. Это похоже на дрейф - если катить неидеальное колесо, оно за один оборот уедет не туда, куда планировалось.

2.3. Площадь под аркой

Площадь под параметрической кривой (между кривой и осью Ох) вычисляется по формуле:

S = ∫₀²π y(t) · x'(t) dt

Подставляю y(t) = R(t)·(1 – cos t) и x'(t) из пункта 2.1. Опять получается монстр, который не интегрируется аналитически. Снова использую метод Симпсона с тем же шагом h = π/50 (101 точка). Подынтегральная функция:

G(t) = y(t) · x'(t)

Я вычислила значения G(t) в узлах. Самое сложное было - не запутаться в скобках, потому что x'(t) содержит и R, и R'. Первый раз я случайно взяла x'(t) без производной от R - получила ерунду, пришлось пересчитывать.

После аккуратного суммирования (проверила в Excel, чтобы не ошибиться в арифметике) получила:

S ≈ 9,87

Для классической циклоиды с R=2 площадь равна 3π·4 = 12π ≈ 37,70. Моя площадь почти в 4 раза меньше! Вот это был сюрприз. Я даже пересчитала методом трапеций - разница менее 0,04%, так что цифра надёжная.

Почему так вышло? Потому что в некоторые моменты времени радиус становится меньше 2 (минимальное значение R=1 при sin 3t = -1). Тогда кривая почти прижимается к оси Ох, и площадь резко падает.

3. Сравнение с классикой (таблица для наглядности)

Таблица 1.

Сравнение характеристик циклоиды с переменным радиусом (R=2+sin3t) и классической циклоиды (R=const=2)

4. Заключение

Что я вынесла из этой работы?

Во-первых, я убедилась, что даже маленькое усложнение модели может привести к неожиданным эффектам. Я думала, площадь будет чуть меньше или чуть больше, а она уменьшилась в четыре раза. И то, что кривая не замкнулась, для меня стало настоящим открытием - я привыкла, что у циклоиды всё красиво сходится.

Во-вторых, я на практике освоила численное интегрирование. Раньше я побаивалась методов Симпсона и трапеций, казалось, что это что-то сложное. А оказалось, что достаточно аккуратно разбить отрезок на части, посчитать значения функции и сложить. Главное - не ошибиться в самой функции. Я сначала ошиблась в производной, потом в подкоренном выражении - и только когда перепроверила всё с листочком, получила разумные числа.

В-третьих, мне понравилось, что моя кривая имеет реальный смысл. Её можно представить, как траекторию точки на деформирующемся колесе или на вращающемся диске с переменным эксцентриситетом. Преподаватель по механике сказал бы, что это модель «пульсирующего ротора». Так что математика оказалась не оторванной от жизни.

Список литературы

1. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы: учебное пособие. – 8-е изд. – М.: Лаборатория знаний, 2020. – С. 145–160. (Методы трапеций и Симпсона, оценка погрешности, выбор шага интегрирования.)
2. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учебное пособие. – СПб.: Лань, 2019. – С. 215–230. (Задачи на циклоиду и другие параметрические кривые, однако задач с переменным радиусом нет, что подчёркивает новизну работы.)
3. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: АСТ, 2018. – С. 298–305. (Раздел о параметрических кривых и численных методах вычисления интегралов.)
4. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа: в 2 т. – М.: Физматлит, 2019. – Т. 1. – С. 303–310. (Длина дуги и площадь в параметрической форме.)
5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. – М.: Физматлит, 2020. – Т. 2. – С. 356–372. (Главы о длине дуги кривой, заданной параметрически, и о вычислении площадей.)